电磁波与电磁场期末试题
一、填空题(20分)
1.旋度矢量的散度恒等与零,梯度矢量的旋度恒等与零。
2.在理想导体与介质分界面上,法线矢量n
由理想导体2指向介质1,则磁场满
足的边界条件:0
1=?B n
,s
J H n =?1 。
3.在静电场中,导体表面的电荷密度σ与导体外的电位函数?满足的关系式
n
??=?ε
σ-。
4.极化介质体积内的束缚电荷密度σ与极化强度P 之间的关系式为P
?-?=σ。
5.在解析法求解静态场的边值问题中,分离变量法是求解拉普拉斯方程的最基本方法;在某些特定情况下,还可用镜像法求拉普拉斯方程的特解。
6.若密绕的线圈匝数为N ,则产生的磁通为单匝时的N 倍,其自感为单匝的2N 倍。
7.麦克斯韦关于位移电流的假说反映出变化的电场要产生磁场。 8.表征时变场中电磁能量的守恒关系是坡印廷定理。
9.如果将导波装置的两端短路,使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为
谐振腔
。
10.写出下列两种情况下,介电常数为ε的均匀无界媒质中电场强度的量值随距离r 的变化规律:带电金属球(带电荷量为Q )E =
2
4r
Q πε;无限长线电荷(电荷线
密度为λ)E =r
πελ
2。
11.电介质的极性分子在无外电场作用下,所有正、负电荷的作用中心不相重合,
而形成电偶极子,但由于电偶极矩方向不规则,电偶极矩的矢量和为零。在外电场作用下,极性分子的电矩发生转向,使电偶极矩的矢量和不再为零,而产生极化。
12.根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中,只要满足给定的边界条件,则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
二、判断题(每空2分,共10分)
1.应用分离变量法求解电、磁场问题时,要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。(×)
2.一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷被移开原来的球心,但仍在球内,则通过这个球面的电通量将会改变。(×)
3.在线性磁介质中,由I
L ψ=
的关系可知,电感系数不仅与导线的几何尺寸、
材料特性有关,还与通过线圈的电流有关。(×)
4.电磁波垂直入射至两种媒质分界面时,反射系数ρ与透射系数τ之间的关系为1+ρ=τ。(√)
5.损耗媒质中的平面波,其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。(×)
三、计算题(75分)
1.半径为a 的导体球带电荷量为Q ,同样以匀角速度ω绕一个直径旋转,求球表面的电流线密度。(10分)
解:以球心为坐标原点,转轴(一直径)为Z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ,且r 与z 轴的夹角为θ,则p 点的线速度为
θ
ωωφsin a e r v
=?=
球面上电荷面密度为
2
4a
Q πσ=
故
θ
ωπθωπσφ
φ
sin 4sin 42
a
Q e a a
Q e v J s
===
2.真空中长直线电流I 的磁场中有一等边三角形,边长为b ,如图所示,求三角形回路内的磁通。(10分)
解:根据安培环路定律,得到长直导线的电流I 产生的磁场:
Z
r
I e B πμφ20 =
穿过三角形回路面积的磁通为
?
?
?
?++=
=?=2
/3002
/30
)(22b d d
z
b d d
dx x
z I dx dz x
I
s d B π
μπ
μφ
由图可知
3
)6
tan(
)(d x d x z -=
-=π
故得到
)]231ln(3
2
[302
/30d
b d b I dx x
d x I
b d d
+
-
=
-=
?
+π
μπ
μφ
)6
34102cos(10608
4ππππμε+-?=?=
-z t e E k H y
3.一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ,如果把它移到无穷远处,需要作多少功?(10分)
解:利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为x 的P 点处时,其像电荷
q q '=-,与导体平面相距为x x
'=-。像电荷q '在P 点处产生的电场为
2
0()4(2)
x
q E x e x πε-'=
所以将点电荷q 移到无穷远处时,电场所作的功为
2
2
2
00()4(2)
16e d
d
q
q
W qE x dr dx x d
πεπε∞∞-'=
?=
=-
?
?
外力所作的功为
2
0016e q
W W d
πε=-=
4.在自由空间中,某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后,波长变为0.09m 。设1r μ=,试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。(10分)
解:在自由空间,波的相速80310/p v c m s ==?,故波的频率为
8
9
310 1.5100.2
p v f H z H z
λ?=
==?
在理想介质中,波长0.09m λ=,故波的相速为
8
1.3510/p v f m s λ==?
而
1
p r
c
v με
ε=
=
故
8
2
2
8
310
(
)(
) 4.941.3510
r p
c v ε?===? 5. 频率为100MHz 的均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z 方向传播,介质的特性参数为4=r ε,1=r
μ,0=γ。设电场沿X 方向,即x x E e E
=。已知,
当t =0,81=z m 时,电场等于其振幅值10-4V/m 。试求:(1)波的传播速度、波数和波长。(2)电场和磁场的瞬时表达式。(15分)
解:由已知条件可知:频率:MHz f 100=、振幅m
V E /10
4
0-=
(1)s m v p /102
31
8
?==
με
ππμεω3
4
103
210288=???==-k
m
k
5.12==
πλ
(2)设)cos(00?ω+-=kz t E e E x
,由条件可知: 4
010
-=E ,8
10
2?=πω
,π3
4=
k ,
即:
)3
4102cos(10
08
4
?ππ+-
?=-z t e E x
由已知条件可得:
6
)8
13
4cos(10
10
004
4
π
??π=
?+?
-
=--
所以
)6
34102cos(108
4πππ+-?=-z t e E x
)6
34102cos(10608
4ππππμε+-?=?=
-z t e E k H y
6.一个半径为R 的介质球,介电常数为ε,球内的极化强度/r P e K r =
,其中K 为
一常数。(1)计算束缚电荷体密度和面密度;(2)计算自由电荷体密度;(3)计算球内外的电场和电位分布。(15分)
解:(1)介质球内的束缚电荷体密度为
222
1()p
d K
K P r r dr r r
ρ=-??=-=-
在r R =球面上,束缚电荷面密度为
p
r r R
r R
K n P
e P
R
σ
===?=?=
(2)由于0D E P ε=+
,所以
2
0()K
D P r
εερεεεε=??=
??=
--
总的自由电荷量
2
2
144R s
K RK
q ds r dr r
επερπεεεε=
=
=--??
(3)介质球内、外的电场强度分别为
10
0()r
P
K E e r
εεεε=
=--
(r R
22
2
0004()r
r
q RK E e e r
r
επεεεε==- (r R >)
介质球内、外的电位分别为
1120
00ln(
)()
R r
r
R
K
R K E dl E dr E dr r
ε?εεεεε∞∞=
?=
+
=
+
--?
?
?
(r R ≤)
2200()r
RK E dr r
ε?εεε∞=
=
-?
(r R ≥)