前言:本专栏是一个系列教程。会将高数数分的思想方法大致都过一遍,算是进阶版的教程【√
这次的内容是数列极限中的证明与计算,理论上数列极限的引入要建立在实数公理系统之上,不过考虑到高数没有相关内容,这里就先挖个坑以后再填【lan√】,看本专栏前你需要将相关基础知识都看一遍,要求很低,只需要达到了解的程度即可。
数列极限——极限的证明问题
一、用定义证明数列极限
二、用柯西收敛准则证明极限
三、证明极限不存在以及否定形式的应用
四、利用单调有界证明极限存在
五、利用子列及归结原则
本专栏为一、二部分的内容。
一、用定义证明数列极限
I.极限定义的ε-N法
回顾数列极限的定义:
记为
由极限定义可以推得收敛数列an具有唯一性、有界性、保号性、迫敛性【夹逼准则】
用定义证明时,给定的是任意小的数,只有N是要求的,找到N=N(ε)即可,一般采取以下方法:
①解方程即可得证
②放大法(放缩):当①中的方程不好解的时候可以采取该方法,将不等式左边放缩一个n的函数f(n),只需要f(n)N1的部分即可用定义式放缩,因此上式
,记为式(#)
这里第一项分子是有限项,所以趋于0,这里再用一次极限的定义式子:
并代入(#)式子右边得
由极限定义,得证。
【事实上这个问题用stolz公式可以直接做出来,这个公式后续专栏会有专题,故这里暂时不提】
这里的证明就用到了分步法,假定n已经大于N1将式子拆成n小于N1的部分和n大于等于N1的部分,再进行放缩,用这种方法结合(定理1)也可以证明下面这个定理:
这个证明和之前的差不多,不再赘述了,请读者自己完成【不会再来私信⑧】
提示一下:
II.拟合法
再介绍一种不太常用的拟合法:在用定义证明| an-A |0,{zn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,因此{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,即A=limxn=limyn
② 充分性:由a=b=A,得到{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限,因此{zn}同理,得证。
二、用柯西收敛准则证明极限
回顾柯西收敛准则
即{xn}为基本列
柯西收敛准则的特点是,不需要预先猜测极限的值就能证明收敛性。
不过事实上这个准则