2023年甘肃省庆阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2. 若，则( )
A. B. C. D.
3. 计算：( )
A. B. C. D.
4. 若直线是常数，经过第一、第三象限，则的值可为( )
A. B. C. D.
5. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则( )
A. B. C. D.
6. 方程的解为( )
A. B. C. D.
7. 如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形若，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约位数学家的数学家传略辞典中部分岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表部分数据如下，下列结论错误的是( )
年龄范围岁
人数人
A. 该小组共统计了名数学家的年龄B. 统计表中的值为C. 长寿数学家年龄在岁的人数最多D. 数学家传略辞典中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人
9. 如图，汉代初期的淮南万毕术是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的边长为，为边的中点动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图所示，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：______．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ______ 写出一个满足条件的值．
13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录如果把海平面以上米记作“米”，那么海平面以下米记作“______ ．
14. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ______
15. 如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则 ______ ．
16. 如图，我国是世界上最早制造使用水车的国家年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条圆的半径长约为米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处舀水转动到处倒水所经过的路程是______ 米结果保留
三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分计算：．
18. 本小题分解不等式组：．
19. 本小题分化简：．
20. 本小题分年，丹麦数学家莫尔在他的著作欧几里得作图中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作圆规的几何学中请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知，是上一点，只用圆规将的圆周四等分按如下步骤完成，保留作图痕迹 以点为圆心，长为半径，自点起，在上逆时针方向顺次截取；分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于上方点；以点为圆心，长为半径作弧交于，两点即点，，，将的圆周四等分．
21. 本小题分为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：南梁精神红色记忆之旅华池县；长征会师胜利之旅会宁县；西路军红色征程之旅高台县，且每人只能选择一条线路小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．求小亮从中随机抽到卡片的概率；请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
22. 本小题分如图，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离图为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离结果精确到 参考数据：，，，，，
23. 本小题分某校八年级共有名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析两次测试试卷满分均为分，难度系数相同；成绩用表示，分成个等级：；；；；；下面给出了部分信息：八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图： 八年级学生上学期期末地理成绩在这一组的成绩是：，，，，，，，，，；八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
八年级下学期
根据以上信息，回答下列问题：填空： ______ ；若为优秀，则这名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有______ 人；你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
24. 本小题分如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．求点的坐标；用的代数式表示；当的面积为时，求一次函数的表达式．
25. 本小题分如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．求证：是的切线；当的半径为，时，求的长．
26. 本小题分【模型建立】如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．求证：；用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；【模型应用】如图，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；【模型迁移】在的条件下，若，，求的值．
27. 本小题分如图，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．求抛物线的表达式；当时，请在图中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；如图，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动连接，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的算术平方根是，故选：．根据算术平方根的定义即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：，．故选：．直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：原式 ．故选：．直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．．
4.【答案】
【解析】解：直线是常数，经过第一、第三象限，．故选：．正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，则．本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在等边中，，是边上的高，平分，，，，故选：．根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数．本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，故原方程的解是．故选：．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，设与交于点， 四边形为矩形，，，，根据折叠的性质可得，，，，，，，，，，，，四边形为菱形，．故选：．由折叠可知，，，，由同旁内角互补，两直线平行得，，由平行线的性质可得，，，，，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：、该小组共统计的人数为：人，故不符合题意；B、统计表中的值为人，故不符合题意；C、长寿数学家年龄在岁的人数为，长寿数学家年龄在岁的人数为人，所以长寿数学家年龄在岁的人数最多，故不符合题意；D、数学家传略辞典中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人，故符合题意．故选：．根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
9.【答案】
【解析】解：如图， ，，，，，，．故选：．根据，得，所以，再根据，得，即可得．本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，当点在边上时，的值逐渐减小，点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，，，，，故选：．根据图确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可．本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图确定点的坐标与正方形的边之间的关系．
11.【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．【解答】解：．故答案为：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：．故答案为：答案不唯一．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出的取值范围，任取其内的一个数即可．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13.【答案】米
【解析】解：海平面以上米记作“米”，海平面以下米记作“米”，故答案为：米．根据正数与负数的实际意义即可得出答案．本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】
【解析】解：是的直径，，，，故答案为：．根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
15.【答案】．
【解析】解：连接交于，则， 四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，≌，，，，故答案为：．连接交于，则，根据菱形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：米．故答案为：．根据弧长公式直接代入数值求解．本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．
17.【答案】解：原式 ．
【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式 ．
【解析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：如图：点、、即为所求．
【解析】根据题中的步骤作图．本题考查了作图的应用与设计，掌握圆心角、弧及弦的关系是解题的关键、．
21.【答案】解：小亮从中随机抽到卡片的概率为；画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片的结果有种，两人都抽到卡片的概率是．
【解析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片的结果有种，再由概率公式求解即可．此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：过点作，垂足为， 设，，，在中，，，在中，，，，解得：，，新生物处到皮肤的距离约为．
【解析】过点作，垂足为，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：把八年级上学期名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数．故答案为：；人，即这名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人．故答案为：；该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．根据中位数的定义可得的值；用乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；比较平均数、众数和中位数可得答案．本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.【答案】解：反比例函数的图象过点，，点的坐标为；一次函数的图象过点，，；的面积为，，，，，，一次函数的表达式是．
【解析】由反比例函数的解析式即可求得的的坐标；把代入即可求得用的代数式表示的式子；利用三角形面积求得的值，进一步求得的值．本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．
25.【答案】证明：，，平分，，，，，，，是圆的半径，是的切线；解：是的直径，，，，，，，解得：，．
【解析】根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；根据三角函数的意义及勾股定理求解．本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．
26.【答案】证明：和都是等边三角形，，，，，≌，；解：．理由如下：是等边三角形，，点与点关于对称，，，；．理由如下：如图，过点作于， 点与点关于对称，，又，，又，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，，，，∽，，，，是等腰直角三角形，，，即：．解：如图，过点作于， 又，是等腰直角三角形，又，，，，，，又，，在中，由勾股定理得：，．
【解析】根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系；过点作于，根据等腰直角三角形的性质推出判定∽，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段，，的数量关系；过点作于，推出是等腰直角三角形，求出、、的长后即可求出的值．本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．
27.【答案】解：抛物线过点，，，．答：抛物线的表达式为．四边形是平行四边形，理由如下：如图，作交轴于点，连接、， 点在上，，，连接，，．，，，当时，，，，，，轴，轴，，四边形是平行四边形．如图，由题意得，，连接， 在上方作，使得，，，，，，，，，≌，，当，，三点共线时最短，的最小值为，，，即的最小值为．答：的最小值为．
【解析】利用待定系数法将点坐标代入抛物线中，即可求解．作辅助线，根据题意，求出的长，，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．作出图，证明≌，的最小值为，根据勾股定理求出即可解答．本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．