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2024年九年级教学质量检测数学说明：1．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．2．答题前，请将考场、姓名、班级、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并用2B铅笔把准考证号对应的信息框涂黑．3．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息框涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，答案一律无效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分 选择题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题目要求的．1. 代数式的意义可以是（）A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商2. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（）A. 武汉地铁 B. 重庆地铁C. 成都地铁 D. 深圳地铁3. 小梅沙海滨公园预计将于今年五一期间开放．园区占地面积约万平方米，用水面积约100万平方米，开放后将成为滨海休息、沙滩活动及婚庆产业、活动赛事重要承载空间．万用科学记数法表示为（）A. B.C. D.4. 计算的结果是（）A. B. C. D.5. 已知不等式组的解集是，则的值为（）A B. 1 C. 0 D. 20246. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（）A 80和81 B. 81和80 C. 80和85 D. 85和807. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为()A. B. C. D.8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（）A. B.C. D.9. 一次函数的图象与与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（）A. 或 B. 或C. 或 D. 或10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（）A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值8 D. 最小值8第二部分 非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11. 口袋中有红色、黄色、蓝色的玻璃球共个，小华通过多次试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是、，则估计口袋中篮球的个数约为________个．12. 若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为______．13. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为______．14. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中，若的面积为8，则______．15. 如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则______．三、解答题：本大题共7小题，共55分．16. 计算：17. 先化简，再求值：，其中．18. 为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某中学八年级组织了一场手抄报比赛，要求每位同学从：“北斗”，：“时代”，：“东风快递”，：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，年级随机抽取了部分同学统计所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．（1）八年级共抽取了______名学生；并补全折线统计图；（2）该活动准备在七年级开展，七年级共有568人，根据八年级样本的数据统计估计七年级选取、两个主题共有______名学生；（3）若七年级的小林和小峰分别从，，，四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．19. 尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．21. 【项目式学习】项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______；（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______；（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．22. 如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的值；（3）当点为三等分点时，请直接写出的值．2024年九年级教学质量检测数学说明：1．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．2．答题前，请将考场、姓名、班级、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并用2B铅笔把准考证号对应的信息框涂黑．3．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息框涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，答案一律无效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分 选择题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题目要求的．1. 代数式的意义可以是（）A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商【答案】C【解析】【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可．【详解】解：代数式的意义可以是与x的积．故选C．2. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（）A. 武汉地铁 B. 重庆地铁C. 成都地铁 D. 深圳地铁【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【详解】解：A、该图案不是中心对称图形，故A不符合题意；B、该图案不是中心对称图形，故B不符合题意；C、该图案不是中心对称图形，故C不符合题意；D、图形是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．3. 小梅沙海滨公园预计将于今年五一期间开放．园区占地面积约万平方米，用水面积约100万平方米，开放后将成为滨海休息、沙滩活动及婚庆产业、活动赛事的重要承载空间．万用科学记数法表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：万，故选：C．4. 计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可．【详解】解：，故选D．5. 已知不等式组的解集是，则的值为（）A. B. 1 C. 0 D. 2024【答案】B【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，解集是，，解得，则原式，故选B．6. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（）A. 80和81 B. 81和80 C. 80和85 D. 85和80【答案】A【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的数为众数，以及把数据排序（小到大或大到小）后，位于中间位置的数为中位数（当中间位置为两个数时，取它们的平均数），据此即可作答．【详解】解：出现次数为2，是最多的，故众数是；排序后：78，80，80，82，85，90．位于中间位置为：∴这组数据的众数和中位数分别为80和81．故选：A7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，根据折叠可知，，∴，，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．8. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．9. 一次函数的图象与与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，利用函数图象得到当一次函数图象在反比例函数的图象上方时x的取值即可．【详解】解：如图，∵反比例函数的图象过，，∴，∴，∴，由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围是：或，∴不等式的解集是：或，故选：D．10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（）A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值8 D. 最小值8【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴右侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：由题意可得：，解得：，．二次函数，对称轴在轴右侧，∴．∴．．∵，抛物线开口向上，二次函数有最小值为：．故选：B．第二部分 非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11. 口袋中有红色、黄色、蓝色的玻璃球共个，小华通过多次试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是、，则估计口袋中篮球的个数约为________个．【答案】【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．【详解】∵红球、黄球的频率依次是45%、25%，∴估计口袋中篮球的个数≈（1﹣45%﹣25%）×80=24个．故答案为24．【点睛】解答此题关键是要先计算出口袋中篮球的比例再算其个数．部分的具体数目=总体数目×相应频率．12. 若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．【详解】解：直线向上平移2个单位长度，平移后的直线解析式为：．平移后经过，．故答案为：．13. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，弧长公式，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．连接，，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，由，，因此，由弧长公式即可求出弧的长．【详解】解：如图，连接，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴弧的长．故答案为：．14. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中，若的面积为8，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例的性质是解题的关键．根据题意得到，将数据代入方程即可得到答案．【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为，根据反比例函数的值的几何意义可知，,且，点和在反比例函数的图象上，，整理得，解得或，，，故答案为：．15. 如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决问题的关键．连接，作于点，证得，可得，，，进而可得，同理可得，求得，，根据勾股定理可得结果．【详解】解：连接，作于点，，点是边的中点，过点作边的垂线，，，，，，，，，，，，，，同理可得，，，，．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共55分．16. 计算：【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解；．17. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．18. 为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某中学八年级组织了一场手抄报比赛，要求每位同学从：“北斗”，：“时代”，：“东风快递”，：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，年级随机抽取了部分同学统计所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．（1）八年级共抽取了______名学生；并补全折线统计图；（2）该活动准备在七年级开展，七年级共有568人，根据八年级样本的数据统计估计七年级选取、两个主题共有______名学生；（3）若七年级的小林和小峰分别从，，，四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．【答案】（1）40，统计图见解析（2）213（3）【解析】【分析】本题主要考查了折线统计图，扇形统计图的，用样本估计总体，树状图法或列表法求概率．（1）利用A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出D的人数，补全折线图即可；（2）用568乘以八年级样本中C、D人数所占的比例，进行求解即可；（3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一主题的结果数，最后利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：名，∴八年级共抽取了40名学生，∴选取D主题的有名学生，补全统计图如下：【小问2详解】解：名，∴根据八年级样本的数据统计估计七年级选取、两个主题共有213名学生，故答案为：213；【小问3详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有16种等可能的结果，其中小林和小峰选择相同主题的结果有4种，∴小林和小峰选择相同主题的概率为．19. 尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．【答案】（1）购进甲种笔记本本，乙种笔记本本（2）第二次购买乙种笔记本本【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．（1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案；（2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案．【小问1详解】解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，依题意得：，解得，，文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；【小问2详解】解：设第二次购买乙种笔记本本，依题意得：，解得，经检验，是原方程的解，也符合题意，故第二次购买乙种笔记本本．20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．（1）求证：直线是切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明结论；（2）作于点，利用已知条件证明，利用比例式求出线段长．【小问1详解】证明：连接，是的直径，，，，，，，，即，直线是的切线；【小问2详解】解：作于点，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，解得．21. 【项目式学习】项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______；（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______；（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．【答案】；；；【解析】【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案；（3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论．【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，车轮轴心到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为，故车轮最高点到地面的距离始终为，故答案为：；（2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹，点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点，由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为，故答案为：；（3）点的运动轨迹为圆，以点为圆心，为半径，运动距离为．故答案为：；（4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”，故答案为：．22. 如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的值；（3）当点为的三等分点时，请直接写出的值．【答案】（1）见解析（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定进行推理证明；（1）证明，列出比例证明即可；（2）作交延长线于W，证，再利用三角函数求解即可；（3）作交于P，然后分类讨论，根据相似求出比值即可．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴；【小问2详解】解：作交延长线于W，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴．【小问3详解】解：作交于P，当时，∴，，∴，∴，∴，∴．当时，∴，，∴，∴，∴，∴．

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