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洛阳市2024年中招模拟考试（二）数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 下列各数中最大的数是（）A. B. 0 C. D.2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A. B. C. D.3. 2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高记录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（）A B. C. D.5. 下列计算，结果正确的是（）A. B.C. D.6. 不等式组的解集是（）A. B. C. D.7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.8. 如图，在菱形中，，连接、，则的值为（）A. B. C. D.9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A. B.C. D.10. 在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（）A. 6 B. 8 C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若式子有意义，则x的取值范围是_____．12. 计算的结果是________．13. 某班准备从《歌唱祖国》《我的祖国》《走进新时代》《十送红军》四首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“建国七十五周年”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是___．14. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．过点C作的切线交的延长线于点D，若，则图中阴影部分的面积为_____．（结果用含π的式子表示）15. 矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为_____．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16. （1）计算：；（2）化简：．17. 我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班(两班男生人数相同)各10名男生的跳绳测试成绩并整理、描述、分析．【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：甲：135 149 198 150 160 123 155 160 137 186乙：100 132 133 146 146 152 164 173 197210【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．班级 统计量 平均数 中位数 众数甲b乙 a 146根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a=，b=；（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由；（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分的男生人数．18. 已知：点P是外一点．（1）尺规作图：如图，以直径作交于E，F两点，连接，，；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求证：，是的切线；（3）在（1）（2）的条件下，若点D在上（点D不与E，F两点重合），且，则的度数为．19. 如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D．（1）求k的值；（2）的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积．20. 近年来我市大力实施河渠综合治理，水域治理效果显著，不仅有效改善了小环境，提升城市的防洪能力，同时也提升了群众生活的幸福指数和城市美丽指数．为了满足市民健康和休闲的需要，我市某区在一条东西走向的小河AB的两侧开辟了两条健康步道，如图所示，小河北岸的步道由三个半圆形组成．经数学兴趣小组勘测，点C在点A的南偏东方向5千米处，点C在点B的南偏西45°方向．该小组成员小聪认为小河北岸健康步道的长度不超过10千米．请通过计算判断小聪的说法是否正确（结果精确到1千米，参考数据：，，，，，，π取3.14）．21. 洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截止目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．22. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．（1）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是；（2）如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由：（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是．23. 【综合与实践】在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．【操作探究】“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作：第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕；第2步：将边沿翻折到的位置；第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．证明过程如下：连接，∵正方形沿折叠，∴①，又∵，∴，∴．由题意可知E是的中点，设，则，在中，可列方程：②，(方程不要求化简)解得：③ ，即H是边的三等分点．“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作：第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．【过程思考】（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：，②：，③：；（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．洛阳市2024年中招模拟考试（二）数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 下列各数中最大的数是（）A. B. 0 C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断．【详解】∵，∴最大的数是，故选：D．2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示．【详解】解：由题意，得：“卯”的俯视图为：．故选A．3. 2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高记录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．【详解】解：54.32万，故选：C．4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故选：D．5. 下列计算，结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B． ，故该选项正确，符合题意；C． ，故该选项不正确，不符合题意；D． ，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．6. 不等式组的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴原不等式组的解集是故选：C7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据方程两个实数根得出，代入数值计算，即可作答．【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得，故选：C．8. 如图，在菱形中，，连接、，则值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．【详解】解：设快马x天可追上慢马，由题意得．故选：B．10. 在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（）A. 6 B. 8 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，在中，则，求得的长，设函数的顶点解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解．【详解】解：在中，则，当时，，解得：（负值已舍去），∴，∴抛物线经过点，∵抛物线顶点为：，设抛物线解析式为：，将代入，得：，解得：，∴，当时，（舍）或，∴，故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若式子有意义，则x的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子有意义，∴且，∴且，故答案为：．12. 计算的结果是________．【答案】【解析】【分析】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．【详解】解：原式，故答案为：．13. 某班准备从《歌唱祖国》《我的祖国》《走进新时代》《十送红军》四首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“建国七十五周年”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是___．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中前面两首歌曲的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：将《歌唱祖国》《我的祖国》《走进新时代》《十送红军》四首歌曲分别用甲，乙，丙，丁表示，根据题意画图如下：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中前面两首歌曲的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率，故答案为：．14. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．过点C作的切线交的延长线于点D，若，则图中阴影部分的面积为_____．（结果用含π的式子表示）【答案】【解析】【分析】本题主要考查切线的性质以及扇形的面积计算，连接，根据切线的性质得出由得由三角形外角的性质得根据勾股定理得，再根据求解即可【详解】解：连接如图，∵是的切线，∴∴∵∴∵∴，∴∴∴即∴∴，故答案为：15. 矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为_____．【答案】1或9【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，分为：当点E在上时，连接，可证得，从而，设，则，可求得，在中列出，进而求得的值；当点E在的延长线上时，同样方法求得结果．【详解】解：∵四边形是矩形，∴当点E在上时，连接，如图，∵，∴∴，∵，∴，∴，设，则，由旋转得：，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，如图，当点E在的延长线上时，同理上可得：，，设，则，，∴，∴，∴，综上所述：或9．故答案为：1或9三、解答题（本大题共8小题，共75分）16. （1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式乘法混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据算术平方根定义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）；（2）．17. 我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班(两班男生人数相同)各10名男生的跳绳测试成绩并整理、描述、分析．【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：甲：135 149 198 150 160 123 155 160 137 186乙：100 132 133 146 146 152 164 173 197210【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．班级 统计量 平均数 中位数 众数甲b乙 a 146根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a=，b=；（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由；（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分的男生人数．【答案】（1）149，160（2）甲班成绩较好；甲、乙两班样本平均数相同，但甲班的中位数和众数均高于乙班，所以甲班成绩较好（3）132人【解析】【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数：（1）根据中位数的意义，将乙班的抽查的10人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从甲班成绩中找出出现次数最多的数即为众数；（2）根据平均数、中位数，众数可以分析得出；（3）根据题意，计算出两班级成绩为满分的学生的百分比，然后乘以总人数即可解答本题．【小问1详解】解：由题意得：乙班10名男生的跳绳成绩按大小顺序排列最中间的两个分数为146，153，故中位数；甲班10名男生的跳绳成绩出现次数最多的是160分，共出现2次，故众数；故答案为：149；160；【小问2详解】解：甲班成绩较好；理由如下：甲、乙两班样本的平均数相同，但甲班的中位数和众数均高于乙班，所以甲班成绩较好；【小问3详解】解：（人），答：估计该校本次测试成绩满分的男生有132人．18. 已知：点P是外一点．（1）尺规作图：如图，以为直径作交于E，F两点，连接，，；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求证：，是的切线；（3）在（1）（2）的条件下，若点D在上（点D不与E，F两点重合），且，则的度数为．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或【解析】【分析】（1）如图1，连接，作的垂线交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，即可；（2）如图1，连接，由为直径，可得，即，，进而结论得证；（3）如图1，，由题意知，，由圆周角定理可得；由圆内接四边形可得，；计算求解即可．【小问1详解】解：如图1，连接，作的垂线交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，即可；图1【小问2详解】证明：如图1，连接，∵为直径，∴，即，，∵是半径，∴，是的切线；【小问3详解】解：如图1，，由题意知，，∵，∴；由圆内接四边形可得，；综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，切线的判定．圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识．熟练掌握作垂线，直径所对的圆周角为直角，切线的判定．圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．19. 如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D．（1）求k的值；（2）的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积．【答案】（1）13（2）【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键．（1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解；（2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可．【小问1详解】解：∵A点坐标∴∵四边形是菱形∴，∴；【小问2详解】∵，∴反比例函数解析式是∵E在AB的垂直平分线上，A，，E点横坐标为把 优人 得：过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于 F，则．20. 近年来我市大力实施河渠综合治理，水域治理效果显著，不仅有效改善了小环境，提升城市的防洪能力，同时也提升了群众生活的幸福指数和城市美丽指数．为了满足市民健康和休闲的需要，我市某区在一条东西走向的小河AB的两侧开辟了两条健康步道，如图所示，小河北岸的步道由三个半圆形组成．经数学兴趣小组勘测，点C在点A的南偏东方向5千米处，点C在点B的南偏西45°方向．该小组成员小聪认为小河北岸健康步道的长度不超过10千米．请通过计算判断小聪的说法是否正确（结果精确到1千米，参考数据：，，，，，，π取3.14）．【答案】小聪的说法不正确，见解析【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过C作于D，在中，利用三角函数的定义求得和的长，在中，求得，据此求得北岸健康步道的长度，即可判断．【详解】解：过C作于D，垂足为D，由题意得：，，千米，在中，，千米千米，在中，，∴千米，∴千米，∴北岸健康步道的长度为，因此小聪的说法不正确．21. 洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截止目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】（1）A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件（2）①；②购进A饰品数量300件，购进B饰品的数量100件时，获利最大，最大利润为3350元【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，分段函数等知识，审清题意找出等量关系并正确列式和方程是解题的关键．（1）设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，根据题意列出方程组求解即可；（2）①由购进A饰品的数量为x件，得购进B饰品的数量为件，再分当时和当时两种情况，根据总利润的计算公式求出总利润即可；②根据两种情况下的解析式分别求出最大值，再比较即可．【小问1详解】解：设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，由题意列方程组为： ，解得答：A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件；【小问2详解】①购进A饰品的数量为x件，则购进B饰品的数量为件，∴当时，；当时，，综上所述：这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式是；②当时，∴当时，y取最大值，此时(元)．当时， ，当时y取最大值，此时，∵，∴当，即购进A饰品的数量为件，则购进B饰品的数量为件时，y取最大值元．22. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．（1）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是；（2）如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由：（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是．【答案】（1）（2）是直角三角形，理由见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，二次函数的性质等等：（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出时，自变量的值即可得到答案；（2）先求出时的自变量的值，进而求出点A和点B的坐标，再把解析式化为顶点式得到点C的坐标，最后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明即可得到结论；（3）把解析式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为，分以下几种情况：当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”；当时，直线与抛物线在范围内不存在交点；当抛物线恰好经过原点时，则，解得或，当时，联立解得或，符合题意；当时，此时二次函数与在范围内不存在交点；当时，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的，求出当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1，则当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为，则，解得，据此结合图象可得答案．【小问1详解】解：∵是反比例函数图象上的一个“梦之点”，∴，∴反比例函数解析式为，当时，则，解得，∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是；【小问2详解】解：是直角三角形，理由如下：当时，解得，∴不妨设；∵，∴顶点C坐标为，∴，，，∴，∴是直角三角形；【小问3详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的顶点坐标为，∴当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”；∵抛物线开口向上，∴当时，直线与抛物线在范围内不存在交点；当时，联立解得或当时，由于抛物线的顶点坐标在直线，∴当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的，当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，即当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1，∴当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为，∴，解得，综上所述，．23. 【综合与实践】在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．【操作探究】“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作：第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；第2步：将边沿翻折到的位置；第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．证明过程如下：连接，∵正方形沿折叠，∴①，又∵，∴，∴．由题意可知E是的中点，设，则，在中，可列方程：②，(方程不要求化简)解得：③ ，即H是边的三等分点．“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作：第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．【过程思考】（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：，②：，③：；（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．【答案】（1）①；②；③；（2）结论正确，见解析；（3）的长为或．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理解答；（2）根据矩形的性质以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；（3）根据E是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．【详解】解：（1）证明过程如下：连接，∵正方形沿折叠，∴，，又∵，∴，∴．由题意可知E是的中点，设，则，在中，可列方程：，(方程不要求化简)解得：，即H是边的三等分点．故答案为：①；②；③；（2）结论正确，证明如下：∵矩形沿折叠，∴，，，，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴点M为边的三等分点；（3）连接交于点O，如图所示：∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，分两种情况：①当时，如图所示，连接与交点N，由对称性可知，，∵，∴，∴，设，则，即，在中，，即，解得：（舍），，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②当时，连接，由对称性可知，，，过点A作于点N，如图所示：∵，∴，∴，设，则，在和中，，∴，∴，∴，在中，，即，解得：（舍），，∴，即，综上的长为或．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

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