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泰安市2021-2022学年下学期期末考试试卷类型：A高二年级考试数学试题2022.07注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从5本不同的语文书和3本不同的数学书中任取一本，则不同的取法种数是A.8B.15C.125D.352.从10名学生中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率是写B号c90.03.(1-2x)的展开式中x3项的系数为A.32B.-32C.64D.-644.已知函数f(x)=e-(a-2)x是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是A.a>0B.a≤0C.a>2D.a≤25.已知函数f(x)=x2,则im。f1+△x)-f0△xA.4B.2C.1D.06.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X,则等于CC+C的是C26A.P(X≥2)B.P(0D.P(X≤1)7.设S=1!+2!+3!+·+2022!,则S除以5所得余数为A.1B.2C.3D.48.在某项n(n∈N)次重复试验中，各次试验的结果相互独立，每次试验的结果只有A,B,C三种，且A,B,C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A,B发生的概率均为子，则在次重复试验中，事件4，B,C发生的次数的方差之比为A.1:1:1B.4:4:3C.3:3:2D.2:2:1高二数学试题第1页（共4页）》二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据(x少).(x),…,(xy),则下列结论正确的是A.若求得的经验回归方程为y=0.6x-0.3,则变量y和x之间具有正的线性相关关系B.若这组样本数据分别是(1,1)，(2,1.5)，(4,3)，(5,4.5)，则其经验回归方程y=ix+a必过点(3,2.25)C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E,=1.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E,=2.1,则模型1的拟合效果更好D.若用决定系数2来刻画回归效果，回归模型3的决定系数R,2=0.41,回归模型4的决定系数R2=0.91,则模型4的拟合效果更好10.已知(x-2)‘=ao+a1x+a2x2+·+asx8,则下列结论正确的是A.a0=28B.as =1C.a1+a2+…+ag=1D.a0-a1+a2-a3+…+ag=3811.已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放人乙罐，再从乙罐中随机取出一球.用A,表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A,表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是A.P(B)=27B.(4)c.()()n.P4,A)=12.已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x(a∈R)在x=0处取得极值，则下列结论正确的是A.a=1B.In(+1)x+1C.函数g)=+》的图象与直线y=x只有一个公共点x+1D.对任意的neN,2+++…>ln(n+1)n2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某单位安排甲，乙，丙，丁4人去三个社区参加志愿者活动，每人只去一个社区，且每个社区都有人参加，则不同的安排方法数为（用数字作答）.14.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为15.已知函数f(x)=e-e+sin2x+1x∈[-T,0],则f(x)的最大值为16.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为高二数学试题第2页（共4页）泰安市2021-2022学年下学期期末考试高 二 年 级 考 试数学试题参考答案及评分标准 2022.07一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 A A B D B D C C二、选择题：题 号 9 10 11 12答 案 ACD ABD AC ACD三、填空题：13. 36 14. 1 22 15. 1 16. 7四、解答题：17.（10分）解：（1）依题意C1 = C7n n，由组合数的性质得n = 8. ………………………………… 2分所以二项式 (2x - 1 )8 的展开式中二项式系数最大的项为 T5 = C84 (2x )4 ( -1 )4 =1120x4. …………………………………………………………………………… 5分（2 1 (2x - 1 )8）由（1）知，n = 8,(1 - )(2x - 1 )8 = (2x - 1 )8 - ,x x因为二项式 (2x - 1 )8 的展开式的通项为Tk + 1 = Ck8 (2x )8 - k ( -1 )k,(2x - 1 )8 8所以 的展开式中的常数项为T9 = (-1) = 1，………………………… 7分(2x - 1 )8 C7 2x ( -1 )7的展开式中的常数项为 8 = -16， ………………………… 9分x x(1 - 1所以 ) (2x - 1 )8的展开式中的常数项为1 - (-16) = 17. ……………… 10分x18.（12分）1 1 + 2 + 3 + 4 + 5解：（）-x= -5 = 3，y=5 + 6 + 7 + 8 + 105 = 7.2，…………………… 2分∑n ( x - -i x ) ( yi - -y )所以 r = i = 1 =∑n ( xi - -x )2 ∑n ( yi - -y )2i = 1 i = 1(1 - 3 )(5 - 7.2 ) + (2 - 3 )(6 - 7.2 ) + (3 - 3 )(7 - 7.2 ) + (4 - 3 )(8 - 7.2 ) + (5 - 3 )(10 - 7.2 )(1 - 3 )2 + (2 - 3 )2 + (3 - 3 )2 + (4 - 3 )2 + (5 - 3 )2 (5 - 7.2 )2 + (6 - 7.2 )2 + (7 - 7.2 )2 + (8 - 7.2 )2 + (10 - 7.2 )2= 12 62 37 ≈ 6.08 ≈ 0.99. …………………………………………………………… 5分高二数学试题参考答案 第 1 页 （共6页）因为 y与 x的相关系数近似为 0.99，说明 y与 x的线性相关程度相当高，可以用一元线性回归模型拟合 y与 x的关系 . ………………………………………………………… 6分∑n ( xi - -x ) ( y -i - y )（2）b = i = 1 ∑n ( x - -i x )2i = 1= (1 - 3) (5 - 7.2) + (2 - 3) (6 - 7.2) + (3 - 3) (7 - 7.2) + (4 - 3) (8 - 7.2) + (5 - 3) (10 - 7.2)(1 - 3) 2 + (2 - 3) 2 + (3 - 3) 2 + (4 - 3) 2 + (5 - 3) 2= 1210 = 1.2，………………………………………………………………………… 9分所以a = -y - b -x= 7.2 - 1.2 × 3 = 3.6，所以经验回归方程为 y = 1.2x + 3.6.……………………………………………… 10分易知2023年的年份代号为7，当 x= 7时，y= 1.2 × 7 + 3.6 = 12. ………………………………………………… 11分所以2023年该地区投入改造农村厕所的费用约为120万元 . ………………… 12分19.（12分）解：（1）根据等高堆积条形图所给的数据，得列联表如下：佩戴头盔年龄 合计是 否年龄低于40岁 540 60 600年龄不低于40岁 340 60 400合计 880 120 1000……………………………………………………………………… 5分（2）零假设为H0:佩戴安全头盔与年龄无关 .…………………………………… 7分根据列联表中的数据，计算得：2 = 1000 × (540 × 60 - 340 × 60)2χ 880 × 120 × 600 × 400 =12522 ≈ 5.682 根据小概率值 α = 0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为佩戴安全头盔与年龄无关． ……………………………… 12分20.（12分）解：（1）f ′( x ) = 3x2 + 2ax + b， ……………………………………………………… 2分因为 f ( x )在 x = 1处取得极值3，ì f ′(1 ) = 0 { 3 + 2a + b = 0所以 í f (1 ) = 3，即 1 + a + ，………………………………………… 4分b + 1 = 3解得a = -4, b = 5.经验证，满足题意，所以a = -4, b = 5.………………………………………………………………… 6分高二数学试题参考答案 第 2 页 （共6页）（2）方程 f ( x ) = k有三个相异实根,即直线y = k与函数y = f ( x )图象有三个不同的交点 .由（1）知 f ( x ) = x3 - 4x2 + 5x + 1, f ′( x ) = 3x2 - 8x + 5,令f ′( x ) = 0,解得x = 1 5或x = 3 . ……………………………………………………………… 8分当 x变化时, f ′( x )，f ( x )的变化情况如下表所示：x (-∞,1) 1 (1, 53 )5 ( 53 3 , + ∞ )f ′(x) + 0 - 0 +f (x) 77单调递增 3 单调递减 27 单调递增…………………………………………………………………………………… 10分因此，当 x = 1时, f ( x )有极大值,且极大值为f (1 ) = 3;= 5 , ( ) 5 77当x 3时 f x 有极小值,且极小值为f ( 3 ) = 27 .77所以实数 k的取值范围是 ( 27 ,3 ). …………………………………………… 12分21（. 12分）42 + 42解：（1）从这批零件中随机选取1件，长度在 (1.4,1.6 ]的概率P= 120 = 0.7…… 2分法1：随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则P (X = 0 ) = C03 × (1 - 0.7 )3 = 0.027，P (X = 1 ) = C13 × (1 - 0.7 )2 × 0.7 = 0.189，P (X = 2 ) = C23 × (1 - 0.7 ) × 0.72 = 0.441，P (X = 3 ) = C33 × 0.73 = 0.343，……… 4分所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343所以E (X ) = 0 × 0.027 + 1 × 0.189 + 2 × 0.441 + 3 × 0.343 = 2.1 ……………… 6分法 2：从这批零件中随机抽取 3个，可看作 3重伯努利试验，X等于事件“抽取的零件的长度在 (1.4,1.6 ]”发生的次数所以X~B (3,0.7 )，………………………………………………………………… 4分所以X的分布列为P (X = k ) = Ck3 (0.7 )k (0.3 )3 - k,k = 0,1,2,3所以E (X ) = 3 × 0.7 = 2.1………………………………………………………… 6分（2）由题意知μ = 1.5, 15σ = 0.1,P (1.3 P ( μ - σ P ( μ - 2σ 因为 |0.7 - 0.6827| = 0.0173 ≤ 0.05，|0.95 - 0.9545| = 0.0045 ≤ 0.05，所以这批零件的长度满足近似于正态分布N (1.5,0.01 )的概率分布 .所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收 .………………………… 12分高二数学试题参考答案 第 3 页 （共6页）22（. 12分）解：（1）由题知：f ′(e ) = 0，解得a = 2e. ……………………………………………… 2分2e所以 f ( x ) = (2e - x )ln x, f ′( x ) = - 1 - ln x,x( ) = 2e - 1 - ln , -2e - x设g x x 则g′( x ) = x x所以 f ′( x )在(0, + ∞)上单调递减 .因为 f ′(e ) = 0，所以，当 x ∈ (0,e )时，f ′( x ) > 0, f ( x )单调递增；当 x ∈ (e, + ∞ )时，f ′( x ) 所以函数 f ( x )的单调递增区间为 (0,e ),单调递减区间为 (e, + ∞ ). …………… 4分（2）不妨设 x1 设F ( x ) = f ( x ) - f (2e - x ) = (2e - x )ln x - x ln (2e - x ),1 F′( ) = 4e2xx (2 - ) - 2 - ln[ x (2e - x )]，e x因为0 所以F′( x ) ≥ 4e22 - 2 - ln e2 = 0,所以F ( x )单调递增,所以F ( x ) ≤ F (e ) = 0，e所以当 x ∈ (1,e )时, f ( x ) 又 f ( x1 ) = f ( x2 )，所以 f ( x2 ) 因为2e - x1 > e,x2 > e，f ( x )在 (e, + ∞ )上单调递减，所以 x2 > 2e - x1 ,所以x1 + x2 > 2e. ……………………………………………… 6分下面证明 x1 + x2 法1：当 x2 当 e + 1 ≤ x2 设G ( x ) = f ( x ) - f (2e + 1 - x ) = (2e - x )ln x - ( x - 1 )ln (2e + 1 - x )，e + 1≤ x ≤ 2e，则′( ) = 4e2 + 2eG xx (2e + 1 - x ) - 2 - ln [ x (2e + 1 - x ) ]，( ) = 4e2 + 2e设φ xx (2e + 1 - ) - 2 - ln [ x (2e + 1 - x ) ] ,e + 1 ≤ x ≤ 2e，则x′( ) = (4e2 + 2e ) [ 2x - (2e + 1 ) ] + 2x - (2e + 1 )φ xx2 (2 ，e + 1 - x )2 x (2e + 1 - x )因为 e + 1 ≤ x ≤ 2e，所以2x - (2e + 1 ) > 0, x (2e + 1 - x ) > 0,所以φ′( x ) > 0,所以G′( x )单调递增，…………………………………………………………… 8分4e2 + 2e又G′(2e ) = 2e (2e + 1 - 2 - 2 - ln [ 2e (2e + 1 - 2e ) ] = 2e - 1 - ln 2e,e )1 x - 1设m ( x ) = x - 1 - ln x , x ≥ 1，则m′( x ) = 1 - = ≥ 0,x x所以m ( x )单调递增，高二数学试题参考答案 第 4 页 （共6页）又m (1 ) = 0，所以当 x ∈ [1 + ∞ )时,x - 1 ≥ ln x,所以G′(2e ) > 0.′( + 1 )= 2e (2e+ 1 )又G e ( + 1 )(2 + 1- - 1 ) - 2- ln [ ( + 1 )(2 + 1- - 1 ) ]=e- 1e e e - ln (e+ 1 )e e e e+ 1所以存在唯一实数 x0 ∈ (e + 1,2e )，使得G′( x0 ) = 0.当 x ∈ [ e + 1,x0 )时，G′( x ) 当 x ∈ ( x0 ,2e ]时，G′( x ) > 0,G ( x )单调递增 .所以G ( x ) ≤ max {G (e + 1 ),G (2e ) }. …………………………………………… 10分又G (e + 1 ) = f (e + 1 ) - f (2e + 1 - e - 1 ) = f (e + 1 ) - f (e ) = (e - 1 )ln (e + 1 ) - e，( ) = ln - x , ′( ) = e - x设n x x 则n x ,e xe当 x ∈ (0, e )时，n′( x ) > 0, n ( x )单调递增,当 x ∈ (0, +∞ )时，n′( x ) 所以n ( x ) max = n (e ) = 0x e + 1所以 ln x ≤ ,所以 ln (e + 1 ) e e所以G (e + 1 ) e e显然G (2e ) = 0，所以当x ∈ [ e + 1,2e )时,G ( x ) 所以 f ( x2 ) 又 f ( x1 ) = f ( x2 )，所以 f ( x1 ) 因为2e + 1 - x2 所以 x1 所以 x1 + x2 综上所述，2e 法2 ln x 1 - - ln x：设φ ( x ) = - 1 ( x > 1 ),则φ′( x ) = x( - 1 )2 ,x x1设h ( x ) =1 - - ln x ( 1 1 1 - xx ≥ 1 ),则h′( x ) = 2 - = 2 ≤ 0x x x x所以h ( x )单调递减，所以h ( x ) ≤ h (1 ) = 0> 1 ,1 - 1所以当 x 时 - ln x x所以φ′( x ) 所以φ ( x )单调递减， …………………………………………………………… 8分高二数学试题参考答案 第 5 页 （共6页）因为1 x1 > 1,所以φ (2 ln (2e + 1 - x ) ln xe + 1 - x1 ) 所以 ( x1 - 1 )ln (2e + 1 - x1 ) 即 [ 2e - (2e + 1 - x1 ) ]ln (2e + 1 - x1 ) 所以 f (2e + 1 - x1 ) 又 f ( x1 ) = f ( x2 ),所以 f (2e + 1 - x1 ) 因为 x2 > e,2e + 1 - x1 > e, f ( x )在 (e, + ∞ )上单调递减,所以2e + 1 - x1 > x2,所以 x1 + x2 综上所述，2e 高二数学试题参考答案 第 6 页 （共6页）

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