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2019年高考真题 数学 (江苏卷)

(1)过A作,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.'

因为PB⊥AB,

所以.

所以.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连结AD,由(1)知

从而,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此,Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBPPB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

为l上一点,且,由(1)知,B=15,

此时

当∠OBP>90°时,在中,.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).

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