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专题14—解三角形（1）考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题；掌握三角形的面积公式。高频考点：1、边角的求解；2、判断三角形的形状；求与面积、范围有关的问题；解决平面几何图形问题；解决实际问题。高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。典例分析题型一：利用正余弦定理解三角形1．（2021 甲卷）在中，已知，，，则A．1 B． C． D．32．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．3．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．4．（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则A．6 B．5 C．4 D．35．（2018 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A． B． C． D．6．（2021 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则．7．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为．8．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则．9．（2021 天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．10．（2021 上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．二、真题集训1．（2018 新课标Ⅱ）在中，，，，则A． B． C． D．2．（2016 山东）中，角，，的对边分别是，，，已知，，则A． B． C． D．3．（2016 新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则A． B． C．2 D．34．（2016 天津）在中，若，，，则A．1 B．2 C．3 D．45．（2019 上海）在中，，，且，则．6．（2018 浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则，．7．（2017 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则．8．（2016 上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．9．（2019 北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．10．（2019 江苏）在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．11．（2019 北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．12．（2018 新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．典例分析答案题型一：利用正余弦定理解三角形1．（2021 甲卷）在中，已知，，，则A．1 B． C． D．3分析：设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．解答：解：设角，，所对的边分别为，，，结合余弦定理，可得，即，解得 舍去），所以．故选：．点评：本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．2．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．分析：先根据余弦定理求出，再代入余弦定理求出结论．解答：解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故选：．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．分析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．解答：解：，，，，，可得，，则．故选：．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则A．6 B．5 C．4 D．3分析：利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．解答：解：的内角，，的对边分别为，，，，，，解得，．故选：．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2018 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A． B． C． D．分析：推导出，从而，由此能求出结果．解答：解：的内角，，的对边分别为，，．的面积为，，，，．故选：．点评：本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（2021 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则．分析：由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．解答：解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，，又，（负值舍）故答案为：．点评：本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题7．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为．分析：利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．解答：解：由余弦定理有，，，，，，，故答案为：．点评：本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．8．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则．分析：由正弦定理化简已知等式可得，由于，化简可得，结合范围，可求的值为．解答：解：，由正弦定理可得：，，，可得：，可得：，，．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（2021 天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．分析：（1）由题意利用正弦定理，求得的值．（2）由题意利用余弦定理计算求得结果．（3）先来用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值．解答：解：（1）中，，，，，．（2）中，由余弦定理可得．（3）由（2）可得，，，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．10．（2021 上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．分析：（1）由余弦定理求得，从而求得面积；（2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长．解答：解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，为锐角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．当时，，；当时，，．点评：本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．真题集训答案1．（解：在中，，，，，则．故选：．2．解：，，，，则，即，即，故选：．3．解：，，，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或（舍去）．故选：．4．解：在中，若，，，，可得：，解得或（舍去）．故选：．5．解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．6．解：在中，角，，所对的边分别为，，．，，，由正弦定理得：，即，解得．由余弦定理得：，解得或（舍，，．故答案为：，3．7．解：根据正弦定理可得，，，，，，，，故答案为：．8．解：可设的三边分别为，，，由余弦定理可得，，可得，可得该三角形的外接圆半径为．故答案为：．9．解：（Ⅰ），，．由余弦定理，得，，；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，，，，为锐角，，．10．解：（1）在中，角，，的对边分别为，，．，，，由余弦定理得：，解得．（2），由正弦定理得：，，，，，．11．解：（1），，．由余弦定理，得，，；（2）在中，，，由正弦定理有：，，．12．解：（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．

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