定义1设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=xi}=pi,i=1,2,…,如果级数绝对收敛，则定义X的数学期望（又称均值）为

定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x).如果f-∞+∞xf(x)dx 绝对收敛，则定义X的数学期望为 E(X)=f-∞+∞xf(x)dx

性质1若C是常数，则E( C)=C. 性质2若C是常数，则E(CX)=CE(X), 性质3E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

性质4设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y): X和Y相互独立，f(x,y)=fX(x)·fY(y), **

若X是离散型随机变量，且其概率分布为 若X是连续型随机变量，且其概率密度为∫(x),则 由数学期望的性质，易得计算方差的一个简化公式： **D(X)=E(X2)-[E(X)]2

性质1：设C为常数，则D©=0. D(X+C)=D(X) 性质2：设X是随机变量，若C为常数，则 D(CX)=C2 D(X) 性质3：若X,Y相互独立，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y)

(2)n维随机变量(Xi,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合C1X1+C2X2+…+CnXn均服从一维正态分布（其中C1,C2，…，Cm不全为零) (3)若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数，则(Y1,Y2,…,Yk)服从k维正态分布.

一般的大数定律讨论个随机变量的平均值的稳定性

定理1设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意给定的正数ε,有 这个不等式称为切比雪夫不等式

切比雪夫不等式也可以写成 切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件{|X-μ|0，有 证明 由切比雪夫不等式，得 令n→oo,再注意到概率不可能大于1，由夹逼定理可得结论。

在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的.这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布.

定理3：(独立同分布的中心极限定理)：设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…),则 左边的分布函数近似右边标准正态分布

正态分布, N(μ,nσ2)， 其标准正态分布

正态分布, , 其标准正态分布

例2一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 解：设Xi,为第i个螺丝钉的重量，i=1,2,…,100,且它们之间独立同分布，于是，一盒螺丝钉的重量为,而且 μ=E(Xi)=100,σ=√D(Xi)=10,n=100. 由中心极限定理有 即一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率为0.0228.

例5某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔偿金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？ 解记 于是，X:均服从参数为p=0.005的两点分布，P{Xi=1}=0.005，np=25是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数，保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益为 万元.所以