定义1设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=xi}=pi,i=1,2,…,如果级数绝对收敛,则定义X的数学期望(又称均值)为
定义2设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x).如果f-∞+∞xf(x)dx 绝对收敛,则定义X的数学期望为 E(X)=f-∞+∞xf(x)dx
三、随机变量函数的数学期望 定理1:设X是一个随机变量,Y=g(X),且E(Y)存在,于是 (1)若X为离散型随机变量,其概率分布为 P{X=xi}=pi,i=1,2,…, 则Y的数学期望为![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/ae1123204f8916f28d876bc744a2898c.png)
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性质1若C是常数,则E( C)=C. 性质2若C是常数,则E(CX)=CE(X), 性质3E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)
性质4设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y): X和Y相互独立,f(x,y)=fX(x)·fY(y), **
若X是离散型随机变量,且其概率分布为 若X是连续型随机变量,且其概率密度为∫(x),则
由数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式: **D(X)=E(X2)-[E(X)]2
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性质1:设C为常数,则D©=0. D(X+C)=D(X) 性质2:设X是随机变量,若C为常数,则 D(CX)=C2 D(X) 性质3:若X,Y相互独立,则 D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4.3 协方差与相关系数 *八、n维正态分布的几个重要性质(2)n维随机变量(Xi,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合C1X1+C2X2+…+CnXn均服从一维正态分布(其中C1,C2,…,Cm不全为零) (3)若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数,则(Y1,Y2,…,Yk)服从k维正态分布.
4.4大数定律与中心极限定理一般的大数定律讨论个随机变量的平均值的稳定性
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式定理1设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意给定的正数ε,有 这个不等式称为切比雪夫不等式
切比雪夫不等式也可以写成
切比雪夫不等式表明:随机变量X的方差越小,则事件{|X-μ|0,有
证明
由切比雪夫不等式,得
令n→oo,再注意到概率不可能大于1,由夹逼定理可得结论。
在实际问题中,许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的,其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的.这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布.
定理3:(独立同分布的中心极限定理):设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…),则 左边的分布函数近似右边标准正态分布
正态分布, N(μ,nσ2), 其标准正态分布
正态分布, , 其标准正态分布
例2一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 解:设Xi,为第i个螺丝钉的重量,i=1,2,…,100,且它们之间独立同分布,于是,一盒螺丝钉的重量为,而且 μ=E(Xi)=100,σ=√D(Xi)=10,n=100. 由中心极限定理有
即一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率为0.0228.
例5某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人每年需交付保险费160元,若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔偿金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005,现有5000人参加此项保险,问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少? 解记 于是,X:均服从参数为p=0.005的两点分布,P{Xi=1}=0.005,np=25
是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数,保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益为
万元.所以