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2021年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣（﹣2021）＝（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（）A．0.10909×105 B．1.0909×104C．10.909×103 D．109.09×1023．因式分解：1﹣4y2＝（）A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ5．下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±26．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（）A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.57．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A． B． C． D．8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A． B． C． D．9．已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）计算：sin30°＝ ．12．（4分）计算：2a+3a＝．13．（4分）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____．14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果 乙种糖果单价（元/千克） 30 20千克数 2 3将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．16．（4分）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度．三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3．由②，得1﹣x＞2，所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．所以原不等式组的解是x＞﹣1．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次） 频数100~130 48130~160 96160~190 a190~220 72（1）求a的值；（2）把频数直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．（1）若点B的坐标为（﹣1，2），①求k1，k2的值；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．21．（10分）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：．（2）若，求的面积22．（12分）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．23．（12分）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．(1)求证：．(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．参考答案及解析【解析】B解：﹣（﹣2021）＝2021．【解析】B解：10909＝1.0909×104．【解析】A解：1﹣4y2＝1﹣（2y)7＝（1﹣2y）（2+2y）．【解析】C解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，∴PT≥PQ．【解析】A解：A．＝4；B．＝7；C．＝7；D．＝4．【解析】D解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则25（1+x）＝60.8．【解析】C解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图所示：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，【解析】A解：根据图象可知，A、B、D组成的点开口向上；A、B、C组成的二次函数开口向上；B、C、D三点组成的二次函数开口向下；A、D、C三点组成的二次函数开口向下；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x7+b1x+c1，把A（4，2），0），5）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，4），0），3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为．【解析】D解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB＝×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,所以AE＝AB＝x,∴AP：AB＝x:x＝1:．【解析】A解：A．令y1+y2＝4，则x2+2x﹣x﹣3＝0，解得x＝，即函数y1和y6具有性质P，符合题意；B．令y1+y2＝7，则x2+2x﹣x+8＝0，整理得，x2+x+8＝0，方程无解1和y7不具有有性质P，不符合题意；C．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2+x+6＝0，方程无解1和y3不具有有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2﹣x+8＝0，方程无解1和y6不具有有性质P，不符合题意．【解析】解：sin30°＝．【解析】5a解：2a+3a＝5a，【解析】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT═1，∴PT═══，【解析】24解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×2）÷5＝24（元/千克）．【解析】═解：连接DE，如图所示，由上图可知AB═2，BC═2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC═45°，又∵AE═══，同理可得DE══，AD══，则在△ADE中，有AE2+DE2═AD7，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE═45°，∴∠BAC═∠DAE，【解析】18解：连接DM,如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM,∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．∵DC,DF关于DE对称，∴DF＝DC,∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB,AB＝CD,∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,∴∠DMC＝2∠FAD．设∠FAD＝x°,则∠DFC＝8x°,∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,∴2x+3x+4x＝180．∴x＝18．【解析】解：圆圆的解答过程有错误，正确过程如下：由①得2+2x＞﹣7，∴2x＞﹣3，∴x＞﹣，由②得1﹣x＜7，∴﹣x＜1，∴x＞﹣1，∴不等式组的解集为x＞﹣4．【解析】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；（2）补全频数分布直方图如下所示：（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为×100%＝20%．【解析】证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．【解析】解：（1）①根据题意得，点A的坐标是（1，2）∵函数y1＝（k1是常数，k1＞4，x＞0）与函数y2＝k8x（k2是常数，k2≠7）的图象交于点A，∴2＝，2＝k2，∴k7＝2，k2＝4；②根据图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞2；（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），∴k5＝x0 y，k3＝﹣x7 y，∴k1+k3＝5．【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：根据题意得，BE＝＝＝3，∴BC＝3+，∴S△ABC＝BC×AE＝．【解析】解：（1）根据题意得,解得,所以，该函数表达式为y＝﹣2x+1．并且该函数图象的顶点坐标为（2,0）．（2）根据题意得P＝p2+p+1,Q＝q2+q+1,所以P+Q＝+p+1+q2+q+1＝p2+q2+4＝(2﹣q)2+q3+4＝2(q﹣1)2+6≥6，由条件p≠q，知q≠1，所以P+Q＞6．【解析】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAC，又∵∠G＝∠C，∴△ABC∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE GD．

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