曲率は，曲線上を速度1で進む物体の加速度ベクトルの大きさ（つまり，速度ベクトルを微分したものの大きさ）
大雑把な導出時刻 sss における速度ベクトルを v(s)v(s)v(s) とする。
下図を見ると，Δs\Delta sΔs が小さい正の数のとき，
∣v(s+Δs)−v(s)∣≒Δθ≒ΔsR|v(s+\Delta s)-v(s)|\fallingdotseq\Delta\theta\fallingdotseq\dfrac{\Delta s}{R}∣v(s+Δs)−v(s)∣≒Δθ≒RΔs
よって，limΔs→0∣v(s+Δs)−v(s)∣Δs=1R\displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}\dfrac{|v(s+\Delta s)-v(s)|}{\Delta s}=\dfrac{1}{R}Δs→0limΔs∣v(s+Δs)−v(s)∣=R1
加速度の定義より，左辺は加速度ベクトルの大きさと一致する。
なお，上記の「重要な性質」を曲率の定義とすることも多いです。
上記の「重要な性質」から曲率半径を求める公式2を導出することもできます。合成関数の微分公式を使ってひたすら微分するだけです。
曲率半径を求める公式2の導出曲線の媒介変数表示を (x(t),y(t))(x(t),y(t))(x(t),y(t)) とするsss を弧長パラメタとする（つまり，曲線上を速度 111 で進む物体の時刻 sss における位置が (x(s),y(s))(x(s),y(s))(x(s),y(s)) と表せる）dsdt=(dxdt)2+(dydt)2=x′2+y′2\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{x'^2+y'^2}dtds=(dtdx)2+(dtdy)2=x′2+y′2 に注意する。速度ベクトルの xxx 成分は，dxds=dtdsdxdt=x′x′2+y′2\dfrac{dx}{ds}=\dfrac{dt}{ds}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}dsdx=dsdtdtdx=x′2+y′2x′
加速度ベクトルの xxx 成分は，d2xds2=dtdsddt(x′x′2+y′2)=1x′2+y′2x′′x′2+y′2−x′2x′x′′+2y′y′′2x′2+y′2x′2+y′2=x′′−x′′x′2+y′′y′x′x′2+y′2x′2+y′2=x′′y′2−x′y′y′′(x′2+y′2)2=y′(y′x′′−x′y′′)(x′2+y′2)2\dfrac{d^2x}{ds^2}=\dfrac{dt}{ds}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\right)\\=\dfrac{1}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\dfrac{x''\sqrt{x'^2+y'^2}-x'\frac{2x'x''+2y'y''}{2\sqrt{x'^2+y'^2}}}{x'^2+y'^2}\\=\dfrac{x''-\frac{x''x'^2+y''y'x'}{x'^2+y'^2}}{x'^2+y'^2}\\=\dfrac{x''y'^2-x'y'y''}{(x'^2+y'^2)^2}\\=\dfrac{y'(y'x''-x'y'')}{(x'^2+y'^2)^2}ds2d2x=dsdtdtd(x′2+y′2x′)=x′2+y′21x′2+y′2x′′x′2+y′2−x′2x′2+y′22x′x′′+2y′y′′=x′2+y′2x′′−x′2+y′2x′′x′2+y′′y′x′=(x′2+y′2)2x′′y′2−x′y′y′′=(x′2+y′2)2y′(y′x′′−x′y′′)
対称性より yyy 成分は，d2yds2=x′(x′y′′−y′x′′)(x′2+y′2)2\dfrac{d^2y}{ds^2}=\dfrac{x'(x'y''-y'x'')}{(x'^2+y'^2)^2}ds2d2y=(x′2+y′2)2x′(x′y′′−y′x′′)
よって，重要な性質より
1R=(d2xds2)2+(d2yds2)2=∣x′y′′−y′x′′∣(x′2+y′2)32\dfrac{1}{R}=\sqrt{\left(\dfrac{d^2x}{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2y}{ds^2}\right)^2}\\=\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}R1=(ds2d2x)2+(ds2d2y)2=(x′2+y′2)23∣x′y′′−y′x′′∣
線路は曲率が急激に変化しないようになっているらしいです。