本人根据读过的书,整理了以下数列通项公式的求法
【包括一些比较阴间的数列】
一:观察法(直接法)
【有些数列通项公式能直接看出来,此处略】
二:猜想+数学归纳
【写出数列的前几项,猜想出数列通项,并用数学归纳法证明,此处略】
三:公式法
已知Sn与an的关系,利用以下公式求数列通项
注意求出后考虑合并
四:累加法
五:累乘法
六:
对形如 (p≠1)的递推式,有以下两种方法。
①:将n用n-1代,两式相减得
故{an+1 -an}为首项为a2-a1,公比为p的等比数列。
②:待定系数构造等比数列【下文“十八”会说,此处略】
七:
对形如 (p≠1)的递推式,通项求法为
两边同除以得
令bn=a^n\p^n
再用累加法即可。
八:取倒数【基础】
对形如的递推式,其通项求法为
两边取倒数得
令bn=1\an,问题转换为“六”中所述。
九:常系数齐次线性递推数列
对k阶常系数齐次线性递推数列{an},已知前k项 (j=1,2,…,k)
其特征方程为
①若特征方程有k个不同的根xi,(i=1,2,...,k),则其通项公式为,
其中Ci为待定常数,由初值条件ai=αi确定。
②若特征方程有k1个重根,k2个重根,……,ks个重根,其中
则其通项公式为
其中Ci为待定常数,由初值条件ai=αi确定。
特别地,对二阶常系数齐次线性递推式
其特征方程为,
,两根为
①α≠β,则
②α=β,则
其中C1,C2由初始值a1,a2确定。
十:取对数
①对形如的递推式,其通项求法为
两边取对数,
换元后转换成“六”
【如果p=1,则取底数m为10或e,若p≠1,则取底数m为p】
②对形如
同上,两边取对数后换元转换成二阶常系数齐次线性递推式。
十一:不动点法
不动点法主要用于解决分式递推式。如对于形如
的递推式,其特征方程,
解出的两根α,β为该数列的不动点
①α≠β,则,
为等比数列,其中公比由α,β和C,D确定。
解题步骤:(1)由特征方程求出不动点α,β。(2)列出an-α,an-β并相除,带入递推式求出公比,从而解出an
②α=β,则,
为等差数列
【解题步骤类似】
不仅仅是以上类型,不动点法主要处理非线性的递推式
例如
十二:
形如,的递推式,其通项求法为
构造函数,令
则递推式化为[两边同乘h(n+1)],
令得
接着使用累加法就能求出xn:
因此求得an:
其中h(n)可用累乘法求得:
有了“十二”的方法,我这里介绍取倒数的应用
十三:取倒数
形如的递推式
可以两边取倒数后换元1\an,就递推式就可“十二”的类型。
十四:配方法
对形如的递推公式,其通项求法为
配方得即
换元后两边取对数【或者迭代】即可。
十五:定理【一个不动点法的特例】
形如的递推式,
若其特征方程,有两根α,β,则有
接着两边取对数【或者迭代】换元后就行了。
十六:
形如的递推式,其通项求法为
将an乘过去,
将n用n+1代得:
即
因式分解得
故
这样数列递推式就化为二阶常系数齐次线性递推式。【后略】
十七:
如果数列递推公式中有出现的乘积形式,则可以考虑两边同时除以出现最多的项,或者除以出现最多的项乘某项
比如中an和an+2出现最多,通常考虑两边同除以an×an+2
下面举例说明
十八:待定系数法
待定系数法主要用于三种类型的递推式
①形如的递推式
待定常数k,使得
对照系数就能解出k
之后过程略。
②形如的递推式
待定常数x,y使得
之后过程略【还是换元构造等比数列】
③形如的递推式
待定常数x,y,z使得
之后过程略。
接下来再介绍几种含根号的处理方法
十九:根号中为一次——换元根式
例如
令,代入并化简得
故
之后过程略。
二十:根号中为2次——平方去根号,运用韦达定理
例如
将5an移到左边,两边平方并化简:
下标n用n+1代得
故an与an+2为方程,的两根
由韦达定理得
此为二阶线性递推式,之后过程略。
二十一:将下标n用n+1代,将两式进行四则运算
【这种方法在上面已经经常出现,两式通常是作差或商,极少数时候作和,这里只举一个例子】
例如
两边平方得,
将n用n+1代得
两式相加得,
即
分母乘过去,转化成二阶线性递推式【后略】
二十二:三角换元/代换
这种方法主要观察递推式的形式是否符合三角函数【反三角函数】的和差角公式,倍角公式,万能公式等等。比如含√1-an²就考虑换元an=cosθ或sinθ,含√1+an²就考虑换元an=tanθ,含√an²-1就考虑换元an=secθ等等
例如【这里只举一个例子】
显然,a0=sin(π/2²),
用一次倍角公式,得到
由归纳法可证
二十三:含取整符号的递推式的化简
利用高斯函数的基本的性质
例如
由高斯函数基本性质得【注意右边那个等号这里取不到】
即
两边同乘4-√11并化简得
故
代入递推式就能化为二阶线性递推式,后略。
最后介绍一个可以求通项的递推数列
二十四:
对数列,其通项求法如下
①若|a1|≤2,令a1=2cosα
由归纳法可证明【用倍角公式直接套】
②当|a1|>2时,令a1=t+1\t
由归纳法可证明
当然对于第一种情况|a1|≤2,还有一种换元方法
别问我为什么不写了,因为专栏图片限制写不下了!
以上就是全部内容
【公式全是我手打的,打了大半天(累死)】因为图片插不进了所以分割线都删了,过程尽量精简了,请见谅!
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