拉比判别法（英语：Raabe's Test）是判断一个实级数收敛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。[1]
Quick Facts 无穷级数, 审敛法 ...无穷级数ζ(s)= ∑ k=1∞1 k s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}} 无穷级数审敛法项测试 · 比较审敛法 · 极限比较审敛法 ·根值审敛法 · 比值审敛法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹—切萨罗定理 · 迪尼判别法级数调和级数 · 调和级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数查论编Close对任意级数 ∑ n=1∞a n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
如果存在 r>1 {\displaystyle r>1}， n 0 ∈ N∗{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}},使得当 n> n 0{\displaystyle n>n_{0}}时，有n (|a na n + 1 |−1)≥r {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r} ，那么级数 ∑ n=1∞a n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 绝对收敛。如果对充分大的 n {\displaystyle n}，有n (|a na n + 1 |−1)≤1 {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1} ，那么级数 ∑ n=1∞a n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 发散。[1]对任意级数 ∑ n=1∞a n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}，令
lim n→∞ n (|a na n + 1 |−1)=r, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,} r>1 {\displaystyle r>1}时级数绝对收敛r1 {\displaystyle r>1}时，存在 p {\displaystyle p}使得 r>p>1 {\displaystyle r>p>1} . 则: lim n→∞ n (|a na n + 1 |−1)=r>p= lim n→∞ n (( 1 +1 n )p −1) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)} ⇒n (|a na n + 1 |−1)>n (( 1 +1 n )p −1) {\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad }对充分大的n {\displaystyle n} ⇒ |a na n + 1 |>( n + 1 ) pn p {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}} ⇒ |a n + 1a n |1 {\displaystyle p>1}时级数 ∑ n −p{\displaystyle \sum n^{-p}}收敛，故级数∑ n=1∞| a n| {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}在 r>1 {\displaystyle r>1}时收敛，即级数∑ n=1∞a n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}绝对收敛。[4]当 r1 {\displaystyle \alpha >1}时， ∑ n=2∞a n