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绝密★启用前2021～2022学年高一上学期期末考试数学试卷（人教A版2019）数学2022.01全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2．请将答案正确填写在答题卡上。第I卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M＝{0}，N＝{－，0，}，那么下列结论正确的是（）A．M＝ B．M∈N C．MN D．NM2．下列命题为假命题的是（）A．命题“”的否命题B．命题“”的否命题C．命题“若x≠1，则x2＋5x－6≠0” 的否命题D．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题3．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“a cos B＝b cos A”是“△ABC是正三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．sin(－840°)＋tan 660°的值是（）A． B． C． D．5．函数y＝＋(2x－1)0的定义域为（）A．（－∞，e） B．C．（0，e） D．6．将函数f (x)＝3sin(2x－φ)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点中心对称，则φ的值可以为（）A． B． C． D．7．已知a＞0，且a≠1，则函数y＝a -x与y＝loga | x |的图象可能是（）A． B．C． D．8．冈珀茨模型()是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当t＝0时，表示2021年初的种群数量），若m(m∈N*)年后，该物种的种群数量将不足2021年初种群数量的一半，则m的最小值为（）(ln 2≈0.7)A．6 B．7 C．8 D．9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列函数既是偶函数，又在(－∞,0)上单调递增的是（）A．y＝3|x| B．y＝x C．y＝－x D．y＝－ln(x2＋1)10．下列说法中正确的有（）A．不等式a＋b＞2恒成立B．存在a，使得不等式a＋≤2成立C．若a，b∈(－∞,0)，则≥2D．若正实数x，y满足x＋4y＝1，则≥1611．对于函数f (x)＝sin x＋cos x，给出下列选项其中正确的是（）A．f (x)的图象关于点对称 B．f (x)的最小正周期为πC．f (x)在区间上单调递增 D．x∈时，f (x)的值域为[1，2]12．设函数f (x)＝x|x|－bx＋c，给出下列四个命题正确的是（）A．c＝0时，f (x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f (x)＝0只有一个实数根C．方程f (x)＝0至多有两个实数根D．f (x)的图象关于（0，c）对称第II卷（非选择题90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．计算－lg 2－lg＝___________．14．设函数f (x)＝2cos在[－π，π]的图象大致如图，则f (x)的最小正周期为．15．已知f (x)为R上的偶函数，g (x)为R上的奇函数，且f (x)＋g (x)＝4x+1，则f (1)＝．16．已知函数f (x)＝当a＝时，f (x)的值域为________；若f (x)在R上单调递减，则a的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|－2≤x≤6}，C＝{x|x＞b}，U＝R．（1）若a＝1，求(UA)∩B；（2）若B∩C≠ ，求b的取值范围；（3）若“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈．（1）求实数的值；（2）求的值．19．（12分）已知函数f (x)＝cos x sin x＋sin2 x．（1）求f (x)的最小正周期和单调递减区间；（2）若f (x)在区间上的最大值为，求n的最小值．20．（12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当Z中t %（0＜t＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (t)＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受t影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当t在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间g (t)的表达式；讨论g (t)的单调性，并说明其实际意义．21．（12分）已知函数f (x)＝sin α－是奇函数.（1）求α的值；（2）判断f (x)的单调性；（只需写出结论）（3）若不等式f (x－x2)＋f (x＋m)＜0恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知f (x)＝log2(4x＋1)－kx（x∈R）．（1）设g (x)＝f (x)－2a＋3，k＝2，若函数g (x)存在零点，求实数a的取值范围；（2）若f (x)是偶函数，设h (x)＝log2(b·2x－b)，若函数f (x)与h (x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围2021～2022学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案详解（人教A版）数学参考答案及解析1．【答案】C【解析】∵集合M＝{0}，N＝{－，0，}，∴MN．故选C．2．【答案】A【解析】对于A选项，命题“”的否命题为“”，取x＝，则x2＜1，A选项中的命题为假命题；对于B选项，命题“”的否命题为“”，取x＝－，则x2＋x＜0，B选项中的命题为真命题；对于C选项，命题“若x≠1，则x2＋5x－6≠0”的否命题为“若x＝1，则x2＋5x－6＝0”，C选项中的命题为真命题；对于D选项，命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，D选项中的命题为真命题．故选A．3．【答案】B【解析】因为△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当a cos B＝b cos A时，结合正弦定理可得sin A cos B＝sin B cos A，即sin(A－B) ＝0，又0＜A＜π，0＜B＜π，所以－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC是等腰三角形，不能推出△ABC是正三角形．当△ABC是正三角形时，A＝B＝C，能推出a cos B＝b cos A，即“a cos B＝b cos A”是“△ABC是正三角形”的必要不充分条件．故选B．4．【答案】A【解析】sin(－840°)＋tan 660°＝sin(－120°)＋tan(－60°)＝－sin 60°－tan 60°＝－－＝－．故选A．5．【答案】D【解析】要使函数y＝＋(2x－1)0有意义，则有解得0＜x＜e且x≠，所以其定义域为．故选D．6．【答案】C【解析】平移后解析式为g (x)＝3sin＝3sin(2x－－φ)，它的图象关于原点中心对称，则φ＋＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，只有C满足．故选C．7．【答案】C【解析】当a＞1，y＝a -x单调递减，恒过(0,1)，y＝loga | x |是偶函数，图象关于y轴对称，定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)恒过(－1,0)，(1,0)，且在定义域(0,＋∞)上单调递增，在(－∞,0)上单调递减；当0＜a＜1，y＝a -x单调递增，恒过(0,1)，y＝loga | x |是偶函数，定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)，恒过(－1,0)，(1,0)，且在定义域(0,＋∞)上单调递减，在(－∞,0)上单调递增，A，B，D不符合题意．故选C．8．【答案】A【解析】由已知，显然k0＞0，，两边取自然对数有：1.4e-0.125m≤1.4－ln 2≈0.7，e-0.125m≤，所以－0.125m≤－ln 2≈－0.7，m≥5.6．的最小值为6．9．【答案】BD【解析】对于A选项，对于函数f (x)＝3|x|的定义域为R，f (－x)＝3|-x|＝3|x|＝f (x)，该函数为偶函数，当x∈(－∞,0)时，f (x)＝3-x＝，则函数y＝3|x|在区间(－∞,0)上为减函数，不符合题意；对于B选项，函数g (x)＝x＝的定义域为{x|x≠0}，g (－x)＝＝＝g (x)，该函数为偶函数，由于该函数在区间(0,＋∞)上单调递减，则该函数在区间(－∞,0)上为增函数，符合题意；对于C选项，函数h (x)＝－x的定义域为{x|x≠0}，h (－x)＝＋x＝－＝－h (x)，该函数为奇函数，不符合题意；对于D选项，φ (x)＝－ln(x2＋1)的定义域为R，φ (－x)＝－ln[(－x)2＋1]＝－ln(x2＋1)＝φ (x)，该函数为偶函数，由于函数φ (x)＝－ln(x2＋1)在区间(0,＋∞)上为减函数，则该函数在区间(－∞,0)上为增函数，符合题意．故选BD．10．【答案】BCD【解析】不等式a＋b＞2恒成立的条件是a≥0，b≥0，且a≠b，故A不正确；当a为负数或1时，不等式a＋≤2成立，故B正确；由基本不等式可知C正确；对于＋＝(x＋4y)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确．故选BCD．11．【答案】CD【解析】f (x)＝sin x＋cos x＝2sin，对于A，令＋＝kπ（k∈Z），可得k＝Z，故选项A不正确；对于B，f (x)的最小正周期为＝2π，故选项B不正确；对于C，若－＜x＜，则－＜x＋＜，所以f (x)在区间上单调递增，故选项C正确；对于D，当x∈时，≤x＋≤，所以≤sin≤1，所以x∈时，f (x)的值域为[1，2]，故选项D正确．故选CD．12．【答案】ABD【解析】对于A，当c＝0时，函数f (x)＝x|x|－bx，所以函数f (－x)＝－x|－x|－b(－x)＝－(x|x|－bx)＝－f (x)，所以函数y＝f (x)为奇函数，故A正确；对于B，b＝0，c＞0时，f (x)＝x|x|＋c＝因为函数在上是增函数，且值域为（－∞，＋∞），所以方程f (x)＝0只有一个实数根，故B正确；对于D，由A知函数y＝x|x|－bx为奇函数，图象关于原点对称，y＝f (x)的图象是由它的图象向上平移个单位而得，所以函数y＝f (x)的图象关于（0，c）对称，故D正确；对于C，当b＝1，c＝0时，f (x)＝x|x|－x，方程f (x)＝0有三个实根：1，－1和0，因此方程f (x)＝0至多有两个实数根错误．故选ABD．13．【答案】1【解析】－lg 2－lg＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝1．故答案为1．14．【答案】【解析】由函数图象可知：x＝－π是函数f (x)的一个上升零点，所以－ω＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得ω＝－k，k∈Z，又由函数的图象得T＜2π＜2T，即＜2π＜2，所以1＜|ω|＜2，所以k＝0时，ω＝，所以．15．【答案】【解析】由题意知f (－x)＋g (－x)＝4-x+1，因为函数f (x)为R上的偶函数，g (x)为R上的奇函数，所以f (－x)＝f (x)，g (－x)＝－g (x)，所以f (x)－g (x)＝4-x+1，因此两式相加得2 f (x)＝4x+1＋4-x+1，即f (x)＝22x+1＋2-2x+1．所以f (1)＝23＋2-1＝8＋＝．16．【答案】（0，＋∞）；【解析】由题意，当a＝时，f (x)＝所以当x＜1时，f (x)的值域为（1，＋∞），当x≥1时，f (x)单调递减，f (1)＝30＝1，又f (x)＞0，所以x≥1时f (x)的值域为（0，1]，所以f (x)的值域为（0，＋∞）；若f (x)在R上单调递减，则需x≥1时单调递减，以及x＝1时，－1＋2≥3a，故，故a∈．故答案为：（0，＋∞）；．17．【解析】（1）若a＝1，则A＝{x|2≤x≤8}，UA＝{x|x＜2或x＞8}，(UA)∩B＝{x|－2≤x＜2}．（2）若B∩C≠，b＜6．（3）“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件，于是得AB，当a＋1＞3a＋5，即a＜－2时，A＝，又B≠，即B，满足AB，则a＜－2，当A≠时，则有或解得－2≤a＜或－2≤a≤，即－2≤a≤，综上得：a≤，所以实数a的取值范围是a≤．18．【解析】（1）因为sin θ，cos θ为关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根，所以所以(sin θ＋cos θ)2＝＝1＋2sin θ cos θ＝1＋，即＝1＋，解得b＝±，此时△＝5－2＞0，又θ∈，所以sin θ＋cos θ＞0，所以b＝．（2）由（1），得sin θ＋cos θ＝，又θ∈，所以sin θ＞cos θ，因为sin θ－cos θ＝＝＝，所以＝．19．【解析】（1）因为f (x)＝cos x sin x＋sin2 x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以f (x)的最小正周期T＝π，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），可得f (x)的单调递减区间为（k∈Z）．（2）当x∈时，2x－∈，因为f (x)在区间上的最大值为，所以sin可以取到最大值1，从而≥，可得n≥，所以n的最小值为．20．【解析】（1）由题意知，当30＜t＜100时，f (t)＝2t＋－90＞40，即t2－65t＋900＞0，解得t＜20或t＞45，所以t∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．（2）当0＜t≤30时，g (t)＝30·t %＋40(1－t %)＝40－；当30＜t＜100时，g (t)＝（2t＋－90）·t %＋40(1－t %)＝－t＋58；所以g (t)＝当0＜t＜32.5时，g (t)单调递减；当32.5＜t＜100时，g (t)单调递增；说明该地上班族Z中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．21．【解析】（1）因为f (x)为奇函数，定义域为R，所以f (0)＝0，即sin α－＝0，解得α＝，当α＝时，f (x)＝－，此时：f (－x)＋f (x)＝－＋－＝1－－＝0，即f (－x)＝－f (x)，函数f (x)＝－为奇函数．（2）f (x)＝－为单调增函数．（3）不等式f (x－x2)＋f (x＋m)＜0恒成立，即f (x＋m)＜－f (x－x2)恒成立，因为f (x)在定义域R上是奇函数，所以f (x2－x)＞f (x＋m)，又f (x)＝－为增函数，所以x2－x＞x＋m恒成立，由x2－2x－m＞0恒成立，有＝4＋4m＜0，解得m＜－1，所以m的取值范围是（－∞，－1）．22．【解析】（1）函数g (x)存在零点，即f (x)＝2a－3有解．因为k＝2，所以f (x)＝log2(4x＋1)－2x＝log2＝log2，因为1＋＞1，所以log2＞0，即f (x)＞0．因为f (x)＝2a－3有解，f (x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2a－3＞0，即a＞，所以实数a的取值范围是(，＋∞)．（2）因为f (x)＝log2(4x＋1)－kx（x∈R）的定义域为R，f (x)是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以log2＋k＝log2(4＋1)－k，所以k＝1，检验：f (x)＝log2(4x＋1)－x＝log2＝log2(2x＋2-x)，f (－x)＝log2(2-x＋2x)，所以f (x)＝f (－x)，所以f (x)是偶函数．因为函数f (x)与h (x)的图象只有一个公共点，所以方程f (x)＝h (x)只有一个解，即2x＋2-x＝b·2x－b只有一个解，即3(b－1)22x－4b·2x－3＝0只有一个解，令t＝2x，t＞0，则3(b－1)t2－4bt－3＝0只有一个正根，当b＝1时，t＝－＜0，不符合题意；当b≠1时，若方程有两个相等的正根，则Δ＝(－4b)2－4×3(b－1)×(－3)＝0，且＞0，解得b＝－3．当方程有两个不相等的实数根且只有一个正根时，因为y＝3(b－1)t2－4bt－3的图象恒过点（0，－3），所以只需图象开口向上，即b－1＞0，解得b＞1．综上，b的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．2021～2022学年高一上学期期末试卷数学·答题卡数学 第4页（共6页）数学 第5页（共6页）数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页）数学 第3页（共6页）

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