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德州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题2024.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷 选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．设，向量，，若，则（）A．2 B． C． D．2．已知复数满足（i是虚数单位），则（）A．2 B．4 C．8 D．163．已知，且，，则（）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（）A． B． C． D．5．若，则与的夹角是（）A． B． C． D．6．在中，，边上的两条中线AM，BN相交于点，则的余弦值是（）A． B． C． D．7，数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O，G，H分别为三角形的外心，重心，垂心，则（）A． B．C． D．8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（）A．若，则为正实数 B．若，则C．若，则 D．若，则为纯虚数10．下列命题中正确的是（）A．若是单位向量，则B．若，则存在唯一的实数，使得C．若向量和，满足，，则D．若向量，，则在方向上投影的数量是11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（）A．若，，，则符合条件的三角形有两个B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则的最小值为D．若，，边上的高为1，则符合条件的三角形有两个第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，，则___________．13．若为的外心，且，则___________．14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且，则___________；若在线段AB上存在动点使得，则xy的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上．（1）求；（2）设，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积．16．（本小题满分15分）已知平面上三点A，B，C，且，，．（1）若A，B，C不构成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为针角三角形，求的取值范围．17．（本小题满分15分）已知函数，．（1）若，求的值；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）如图所示，在扇形中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段OA，OB上，，，记．（1）当时，求；（2）请写出阴影部分的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值．19．（本小题满分17分）在中，角A，B，C的对边分别为，．（1）若，求证：；（2）若，求的最大值．高一数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．ACD 10．BC 11．ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12． 13．0 14．4，四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．解：（1），，因为在复平面上对应的点在实轴上，所以，所以，（2）由（1）知：，，所以，所以．在复平面上对应的点分别为，，，所以，，所以，，所以，．16．解：（1）由题可知，，，三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，所以，解得．（注：利用求解，同样得分）（2）当为钝角时，，所以，解得且，当为钝角时，，，，即，，所以．当为钝角时，，，，，无解．所以或且．17．解：（1），，，，所以或，即或，当时，，当时，（2）当时，，则，即，令，，关于的方程在上有解，即在上有解，当时，，由，得，即实数的取值范围是．18．解：（1）根据题意，，因为为锐角，所以，，，四边形是平行四边形，所以，为等腰三角形，，，．（2）由题可知，在中，，，，，则由正弦定理，可得，故可得，，，，所以，，，当时，，此时取得最小值．19．解：（1）由正弦定理得，，，所以，，所以．（2），，又，所以，令，所以，．当且仅当取等号，所以的最大值为．
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