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德州市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题2023.7本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷4—6页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．复平面内复数所对应的点为，则（）A． B．2 C． D．12．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（）A． B． C． D．53．第七次全国人口普查数据显示，德州市各区县常住人口数据如下图所示，则这些区县的人口数据的分位数为（）A．43.86 B．48.8 C．55.92 D．52.364．如图所示正八边形为正八边形的中心，且，则下列选项正确的是（）A． B．在上的投影的数量为C． D．5．若，则（）A． B． C． D．6．长方体中，，则二面角的余弦值为（）A． B． C． D．7．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（）A． B． C． D．8．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（）A． ． C． D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数D．甲乙两种水稻近五年的总方差为0.07210．设函数在区间恰有两个零点，则可能是（）A． B．2 C． D．11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A．与是互斥事件 B．与互为对立事件C．发生的概率为 D．与相互独立12．如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接，下列说法正确的是（）A．平面B．与平面的夹角的正弦值为C．三棱锥外接球的表面积为D．点到平面的距离为第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知是单位向量，且，则向量与的夹角为________________．14．如图，平面为正方形，且，分别是线段的中点，则异面直线与所成的角为________________．15．如图所示是某电路子模块，位置1，2，3随机接入3个电子元件，不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有一个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作．若电子元件正常工作的概率分别为0.6，0.7，0.8当接入电子元件后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值是________________．16．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）先后抛郑一枚质地均匀的骰子，第一次抛郑的点数记为，第二次抛郑的点数记为．（1）求的概率；（2）求的概率．18．（本小题满分12分）已知．（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）当时，求函数的最值．19．（本小题满分12分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．20．（本小题满分12分）如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，和分别是边长为和的正三角形．（1）求三棱台的表面积；（2）计算球的体积．21．（本小题满分12分）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．（1）求角的大小；（2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）22．（本小题满分12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．（1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；（2）求证：平面；（3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值 若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．高一数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．ACD 10．BCD 11．BCD 12．AC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．0.70416．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．由题意可知，数组表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间共有36个样本点．（1）记事件“”为，则，所以，从而；（2）记事件“”为，则，所以，从而．18．解：（1），所以函数的最小正周期；由，所以，所以对称中心是（2）当时，，所以．即函数的最大值为，最小值为．19．解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；（3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为这组两人的编号为，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：分设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况．故，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．20．解：如图设点分别是正的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，在等边中，由，得，同理，得，如下图，过点作，则在中，，，所以正三棱台的高为3，在直角梯形中，所以，所以正三棱台的斜高为，（1）正三棱台侧面积为又因为正三棱台上下两底的面积之和为所以正三棱台表面积为（2）在中，，即，在中，，即，两式联立解得：，所以球的体积为：．21．解：（1）选①由正弦定理的，即因为，所以，所以，整理得又因为，所以若选②因为，由正弦定理，得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以；若选③因为，所以即又因为，所以又因为，所以因为，所以；（2）由（1）得，所以由，所以所以的取值范围为（3）当取得最大值时，，解得；在中，令，则，所以；又，所以，所以．所以，当时等号成立；所以面积的最大值为．22．解：（1）如图，点为的中点，连接，由为中点，则，又，所以，所以四点共面，记该平面为平面，故平面与棱柱的截面为．（2）证明：因为在与中，，所以，又，所以，所以，，且平面，所以平面，即平面；（3）由（2）知平面，又平面，所以，又，所以，又，且平面，所以平面，又，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以，所以三棱锥的体积为定值．中，，所以由可得所以点到平面的距离为．
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