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2024届广东省高三第一次学业水平考试数学模拟卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知向量，，且，则（）A． B． C．12 D．3．不等式的解集是（）A．B．C．或D．或4．函数的最小值为（）A．2 B．5 C．6 D．75．若函数在上是增函数，则（ ）.A．B． C． D．6．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B． C．D．7．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（）A． B． C． D．8．函数，则的值为()A．-2 B．2 C．4 D．-49．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（）A． B． C． D．10．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（）A．B．C．D．11．已知事件与相互独立，且，则（）A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.912．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，则D．若，，，，则二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分.13．的虚部为 ．14．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层随机抽样的方法，抽取的中型商店数有 家．15．已知函数是偶函数，其定义域为，则16．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则.17．某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为 .18．已知函数 的最小正周期为，则.三、解答题：本大题共 4 小题，第 19～21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.19．函数(1)画出函数的图象； (2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）20．在三棱柱中，，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面为菱形，求证：.21．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）：甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？22．已知的内角所对的边分别为，满足.(1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页参考答案：1．C【分析】根据交集的概念进行求解即可.【详解】.故选：C2．B【分析】根据向量垂直的坐标公式直接计算求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故选：B3．A【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可.【详解】解方程得或，因为函数开口向上，所以不等式的解集为.故选：A4．D【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故选:D5．A【分析】根据函数是增函数，求解参数范围.【详解】因为在上是增函数，则,即.故选：A6．B【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】函数的图象向右平移个单位，得.故选：B.7．A【分析】列举法求解古典概型的概率.【详解】从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，一共有以下情况：，共6种情况，其中这 2 个球的编号之和为偶数的情况有，共2种情况故这 2 个球的编号之和为偶数的概率为.故选：A8．C【分析】根据分段函数的解析式，由内层到外层计算即可.【详解】因为，则；因为，则所以.故选：C.9．C【分析】由三角函数定义计算即可得.【详解】由，故，，故.故选：C.10．B【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案.【详解】设，则，所以，所以，所以，因为，因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.故选：B.11．C【分析】根据题意，结合，即可求解.【详解】由题意，事件与事件相互独立，且，则.故选：C.12．A【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解．【详解】解：l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A，若，，，则由线面垂直的性质得，故A正确；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则α与γ平行或相交，故C错误；对于D，若，，，，则m与α平行、相交或，故D错误．故选：A．13．5【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.【详解】由题意得，所以的虚部为5．故答案为：514．5【分析】先求出抽样比，再根据分层抽样的方法计算即可.【详解】解：抽样比等于，由于中型商店有75家，应抽取的中型商店数为．故答案为：5.15．【分析】根据定义域关于原点对称可得，根据可求，从而可求与.【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以①，且，即，解得,代入①，可得，所以.故答案为:.16．【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.【详解】已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则，.故答案为：.17．【分析】根据正方体的棱长求出内切球的半径，进而求得内切球的表面积.【详解】因为正方体的棱长为，所以内切球的半径为，所以该正方体内切球的表面积为.故答案为：18．12【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值.【详解】由于，依题意可知.故答案为：19．(1)图象见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；（3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围.【详解】（1）由解析式得图象如下，（2）由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减，且，，，，综上，在上值域为.（3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，所以.20．（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线定理可得,再由线面平行的判定定理可得结论；（2）连接，则可得，由已知条件可得平面，则有，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为，的中点，因为点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）证明：连接，因为四边形为菱形，所以，因为，，,所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以21．(1)乙种玉米苗长得高(2)甲种玉米苗长得齐【分析】（1）根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论；（2）根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论.【详解】（1）甲的平均值，乙的平均值，，故乙种玉米苗长得高．（2）甲的方差，乙的方差，，故甲种玉米苗长得齐.22．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理直接计算求解即可；（2）根据正弦定理求得，得到，结合三角形面积公式即可得到答案.【详解】（1）设外接圆的半径为在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，外接圆的面积为（2）因为，所以，所以因为，所以或，因为，所以，所以，所以，所以的面积答案第1页，共2页答案第1页，共2页

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