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2024年江苏省常州市中考数学试题一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.﹣2024的绝对值是()A. B. C.﹣2024 D.20242.若式子有意义,则实数x的值可能是()A.﹣1 B.0 C.1 D.23.计算2a2﹣a2的结果是()A.2 B.a2 C.3a2 D.2a44.下列图形中,为四棱锥的侧面展开图的是()A. B.C. D.5.如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则()A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等6.2024年5月10日,记者从中国科学院国家天文台获悉,“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系,这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为()A.50×108光年 B.5×108光年C.5×109光年 D.5×1010光年7.如图,推动水桶,以点O为支点,使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力F1、F2,则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是()A.垂线段最短B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.两点确定一条直线D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中,为合理分配体能,运动员通常会记录每行进1km所用的时间,即“配速”(单位:min/km).小华参加5km的骑行比赛,他骑行的“配速”如图所示,则下列说法中错误的是()A.第1km所用的时间最长B.第5km的平均速度最大C.第2km和第3km的平均速度相同D.前2km的平均速度大于最后2km的平均速度二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请将答案直接填写在答题卡相应位置上)9.16的算术平方根是 .10.分解因式:x2﹣4xy+4y2= .11.计算:.12.若等腰三角形的周长是10,则底边长y与腰长x的函数表达式为 .13.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是 .14.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接AD、BC、BD.若∠BCD=20°,则∠ABD= °.15.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.若AD=8,BE=10,则tan∠ABD=.16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD、DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=.17.小丽进行投掷标枪训练,总共投掷10次,前9次标枪的落点如图所示,记录成绩(单位:m),此时这组成绩的平均数是20m,方差是m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上,且投掷结束后这组成绩的方差是m2,则 (填“>”、“=”或“<”).18.“绿波”,是车辆到达前方各路口时,均遇上绿灯,提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上,某时刻的导航界面如图所示,前方第一个路口显示绿灯倒计时32s,第二个路口显示红灯倒计时44s,此时车辆分别距离两个路口480m和880m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s,第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s.若不考虑其他因素,小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过),则车速v(km/h)的取值范围是 .三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(8分)解方程组和不等式组:(1);(2).20.(6分)先化简,再求值:(x+1)2﹣x(x+1),其中x1.21.(8分)某企业生产了2000个充电宝,为了解这批充电宝的使用寿命(完全充放电次数),从中随机抽取了20个进行检测,数据整理如下:完全充放电次数t 300≤t<400 400≤t<500 500≤t<600 t≥600充电宝数量/个 2 3 10 5(1)本次检测采用的是抽样调查,试说明没有采用普查的理由;(2)根据上述信息,下列说法中正确的是 (写出所有正确说法的序号);①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次;②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t<600;③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t<400.(3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量.22.(8分)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”.将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀.(1)从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是 ;(2)甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲取胜的概率.23.(8分)如图,B、E、C、F是直线l上的四点,AC、DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF.(1)求证:△GEC是等腰三角形;(2)连接AD,则AD与l的位置关系是 .24.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A(﹣1,n)、B(2,1).(1)求一次函数、反比例函数的表达式;(2)连接OA、OB,求△OAB的面积.25.(8分)书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m.若装裱后AB与AD的比是16:10,且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度.26.(10分)对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合,则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.(1)如图1,B、C、D是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中,线段AC的“平移关联图形”是 ,d=(写出符合条件的一种情况即可);(2)如图2,等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”,且满足d=2(保留作图痕迹,不要求写作法);(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,点D、E、G的坐标分别是(﹣1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆心,r为半径画圆.若对⊙G上的任意点F,连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足d≥3,直接写出r的取值范围.27.(10分)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起,使点E、B分别在边AC、DF上(端点除外),边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点H.(1)如图1,当E是边AC的中点时,两张纸片重叠部分的形状是 ;(2)如图2,若EF∥BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;(3)如图3,当AE>EC,FB>BD时,AE与FB有怎样的数量关系?试说明理由.28.(10分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.(1)OC=;(2)如图,已知点A的坐标是(﹣1,0).①当1≤x≤m,且m>1时,y的最大值和最小值分别是s、t,s﹣t=2,求m的值;②连接AC,P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外),过点P作PD⊥x轴,垂足为D,作∠DPQ=∠ACO,射线PQ交y轴于点Q,连接DQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.2024年江苏省常州市中考数学试题参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.D2.D3.B4.B5.A6.C7.A8.D二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请将答案直接填写在答题卡相应位置上)9.410.(x﹣2y)211.112.y=10﹣2x(2.5<x<5)13.(﹣2,﹣1)14.70°15.16.17.>18.54≤v≤72三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(8分)解:(1),①+②,得:4x=4,∴x=1,将x=1代入①得:y=1,∴该方程组的解为:;(1),解不等式3x﹣6<0,得:x<2,解不等式,得:x>﹣1,∴该不等式组的解集为:﹣1<x<2.20.(6分)解:原式=x2+2x+1﹣x2﹣x=x+1;当x1时,原式1+1.21.(8分)解:(1)因为全面调查一般花费多、耗时长,而且具有破坏性,所以本次检测采用的是抽样调查;(2)①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次,故正确;②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t<600,故正确;③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数为540,故不正确;∴①②;故答案为:①②;(3)2000500(个),答:估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个.22.(8分)解:(1)由题意知,共有3种等可能的结果,其中抽到“石头”的结果有1种,∴从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是.故答案为:.(2)列表如下:石头 剪子 布石头 (石头,剪子) (石头,布)剪子 (剪子,石头) (剪子,布)布 (布,石头) (布,剪子)共有6种等可能的结果,其中甲取胜的结果有:(石头,剪子),(剪子,布),(布,石头),共3种,∴甲取胜的概率为.23.(8分)(1)证明:在△ABC和△DFE中,,∴△ABC≌△DFE(SSS),∴∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC,∴GE=GC,∴△GEC为等腰三角形;(2)解:AD与l的位置关系是:AD∥l,理由如下:连接AD,过A作AM⊥直线l于M,过D作DN⊥直线l于N,如图所示:则∠AMB=∠DNF=90°,AM∥DN,∵△ABC≌△DFE,∴∠ABM=∠DFN,在△ABM和△DFN中,,∴△ABM≌△DFN(AAS),∴AM=DN,∴四边形AMND为平行四边形,∴AD∥l.24.(8分)解:(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A(﹣1,n)、B(2,1),∴m=﹣n=2,∴m=2,n=﹣2,∴反比例函数解析式为y,一次函数y=kx+b的图象过A(﹣1,﹣2)、B(2,1),,解得,∴一次函数解析式为y=x﹣1.(2)如图,设直线与x轴的交点为点C,在函数y=x﹣1中,当y=0时,x=1,∴C(1,0),即OC=1,∴S△AOB=S△BOC+S△AOC.25.(8分)解:由题意得,AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m,∵a=b,c=d,c=2a,∴AB=(1.2+c+d)m=(1.2+4a)m,AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a),∵AB与AD的比是16:10,∴(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10,∴a=0.1,∴b=0.1,c=d=0.2,答:上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m.26.(10分)解:(1)由题知AB=BC=CD=DE=1,.∴AC=BD=CE=2,∴线段AC的“平移关联图形”可以是BD,也可以是CE,当线段AC的“平移关联图形”是BD时,d=1,当线段AC的“平移关联图形”是CE时,d=2;故答案为:BD,1或者CE,2;(两种情况任填一种即可).(2)作图如图所示,作法提示:①在AB延长线上截取BA'=BA,②再分别以B和A'为圆心,BA'长为半径画弧交于点C',③连接BC和A'C',则△BA'C'即为所求;理由:∵AB=A'B=BC'=A'C',△ABC是等边三角形,∴△BA'C'为等边三角形,∴△ABC≌△BA'C'(SAS),∵平移距离为2,∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”,且满足d=2.(3)∵点D、E、G的坐标分别是(﹣1,0)、(1,0)、(0,4),∴OD=OE=1,OG=4,∴DE=2,,对⊙G上的任意点F,连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足d≥3,且DE=2<3,∴DF≥3,EF≥3,当DE在圆外时,∵DF≥DG﹣GF,EF≥EG﹣GF,∴,∴,即;当DE在圆内时,则,∴GF3,∴r3;综上:或r3;27.(10分)解:(1)如图所示,连接BE,CD,∵△ABC,△DEF都是等边三角形,∴∠ACB=∠EDF=60°,∴B、D、C、E四点共圆,∵点E是AC的中点,∴∠BEC=90°,∴BC为过B、D、C、E的圆的直径,又∵DE=BC=6cm,∴DE为过B、D、C、E的圆的直径,∴点H为圆心,∴EH=BH,∴∠HBE=∠HEB=30°,∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°,∴BG∥EH,BH∥EG,∴四边形BHEG是平行四边形,又∵EH=BH,∴四边形BHEG是菱形,∴两张纸片重叠部分的形状是菱形,故答案为:菱形;(2)∵△ABC,△DEF都是等边三角形,∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°,AC=BC=6cm,∵EF∥BC,∴∠CHE=∠DEF=60°,∴∠ABC=∠CHE,∴BG∥EH,∴四边形BHEG是平行四边形,∵∠C=∠CHE=60°,∴△EHC是等边三角形,过点E作ET⊥HC,∴设EH=CH=2x cm,则BH=(6﹣2x)cm, cm,∴ cm,∴,∵,∴当时,S重叠有最大值,最大值为;(3)AE=BF,理由如下:如图所示,过点B作BM⊥AC于M,过点E作EN⊥DF于N,连接BE,∵△ABC,△DEF都是边长为6cm的等边三角形,∴AM=FN=DF=AC=3cm,EF=AB=6cm,BE=BE,∴由勾股定理可得,,∴EN=BM,又∵BE=BE,∴Rt△NBE≌Rt△MEB(HL),∴NB=ME,∴FN+BN=AM+ME,即AE=BF.28.(10分)解:(1)由抛物线的表达式知,c=3,即OC=3,故答案为:3;(2)将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=﹣1﹣b+3,则b=2,即抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3,则抛物线的对称轴为直线x=1,顶点为:(1,4),点B(3,0);①当1≤x≤m,且m>1时,抛物线的x=1时,取得最大值,即s=4,当x=m时,y取得最小值为t=﹣m2+2m+3,则4﹣(﹣m2+2m+3)=2,解得:m=1(不合题意的值已舍去);②设点P(m,﹣m2+2m+3),则点D(m,0),由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=3x+3,当点P在x轴上方时,如下图,∵∠DPQ=∠ACO,则直线PQ的表达式为:y=3(x﹣m)﹣m2+2m+3,则点Q(0,﹣m2﹣m+3),由点P、C、D、Q的坐标得,DQ2=m2+(﹣m2﹣m+3)2,PC2=m2+(﹣m2+2m)2,∵DQ=PC,即m2+(﹣m2﹣m+3)2=m2+(﹣m2+2m)2,解得:m=﹣1(舍去)或1或1.5;当点P在x轴下方时,同理可得:点Q(0,﹣m2+5m+3),则DQ2=m2+(﹣m2+5m+3)2=PC2=m2+(﹣m2+2m)2,解得:m=﹣1(舍去)或(舍去)或;综上所述,点P的横坐标为:1或1.5或.(1/16)
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