2023年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列几何体的主视图是圆的是( )
A. B. C. D.
4. 已知，点在直线上，点，在直线上，于点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5. 在月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：，，，，，，单位：次分钟，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等C. 正五边形是中心对称图形 D. 单项式的次数是
7. 我国古代数学名著九章算术中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径为寸，要做成方形板材，使其厚度达到寸则的长是( )
A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸
8. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”若关于的二次函数为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
10. 近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达万只，数据用科学记数法表示为______ ．
11. 有两个女生小合唱队，各由名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为，甲队身高方差，乙队身高方差，两队身高比较整齐的是______ 队填“甲”或“乙”
12. 如图，在，上分别截取线段，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线若，则 ______
13. 观察下列式子：；；；；； 依此规律，则第为正整数个等式是______ ．
14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ______ ．
15. 年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是______ 米结果精确到米，，，．
16. 如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．若，，则的长是______ 结果保留；若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分计算：．
18. 本小题分解不等式组：．
19. 本小题分如图，反比例函数为常数，与正比例函数为常数，的图象交于，两点．求反比例函数和正比例函数的表达式；若轴上有一点，的面积为，求点的坐标．
20. 本小题分为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：包粽子，腌咸蛋，酿甜酒，摘艾叶，每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：本次共调查了______ 名学生；请补全条形统计图；学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
21. 本小题分如图，点在▱的边上，，请从以下三个选项中；；，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱为矩形．你添加的条件是______ 填序号；添加条件后，请证明▱为矩形．
22. 本小题分水碧万物生，岳阳龙虾好小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
23. 本小题分如图，在中，，点，分别为边，的中点，连接．初步尝试：与的数量关系是______ ，与的位置关系是______ ．特例研讨：如图，若，，先将绕点顺时针旋转为锐角，得到，当点，，在同一直线上时，与相交于点，连接．求的度数；求的长．深入探究：若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当旋转角满足，点，，在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
24. 本小题分已知抛物线：与轴交于，两点，交轴于点．请求出抛物线的表达式．如图，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．故选：．利用相反数的定义判断即可．此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，故本选项符合题意；B.，故本选项不符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项不符合题意；故选：．先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式进行计算，再根据求出的结果进行判断即可．本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式等知识点，能熟记同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项法则和完全平方公式是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：球体的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，四棱锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是矩形．故选：．根据球体、正方体、四棱锥、三棱柱的主视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
4.【答案】
【解析】解：，，，，，，．故选：．由平角的定义可求得，再由平行线的性质即可求解．本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】
【解析】解：这组数据出现次，次数最多，所以这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故选：．根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6.【答案】
【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、单项式的次数是，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：．利用平行线的性质、菱形的性质、正多边形的对称性及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7.【答案】
【解析】解：依题意得：为的直径，，在中，寸，寸，由勾股定理得：．的长为寸．故选：．首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长．此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．
8.【答案】
【解析】解：将代入二次函数，得，整理得．是关于的二次方程，总有两个不同的实根，．令 ，，即，解得．故选：．根据根与系数的关系解答即可．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．根与系数的关系是二次函数部分非常重要的关系式，这里进行了反复运用，一定要牢牢掌握并灵活运用．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：．根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．故答案为：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11.【答案】甲
【解析】解：，，，两队身高比较整齐的是甲队．故答案为：甲．根据方差的意义求解即可．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】
【解析】解：由作法可知，是的平分线，．故答案为：．直接根据角平分线的作法即可得出结论．本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：；；；；；；依此规律，则第为正整数个等式是：．故答案为：．观察等式左边的特点，即第个式子就是的平方减去；右边的特点是与的积．此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：原方程有两个不相等的实数根，，．，是关于的一元二次方程的两个实数根，，，，，解得：不符合题意，舍去，，实数的值为．故答案为：．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，由根与系数的关系，可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，四边形是矩形，，，在中，，，，，答：气球顶部离地面的高度是．故答案为：．由题意得，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，正确地仰角的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，，，的长；故答案为：；如图，连接， 切于点，，在中，为直径，，，，∽，，点为的中点，，，，，∽，，，设，则，为直径，，，．故答案为：．连接，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可求出的长；连接，证明∽，可得，再证明∽，可得，设，则，根据勾股定理求出，代入比例式即可解决问题．本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．
17.【答案】解：． ．
【解析】先化简特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，再根据实数的运算法则计算即可．本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，解不等式得：，解不等式得：，故不等式组的解集为：．
【解析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可．本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法．
19.【答案】解：将点代入，得：，反比例函数的解析式为：，将点代入，得：，正比例函数的解析式为：．解方程组，得：，，点的坐标为，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， ，，，，，，，即：，，，点的坐标为或．
【解析】分别将点反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；先求出点的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，然后根据点、、的坐标表示出，，，最后再根据即可求出点的坐标．此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答时，过点，向轴作垂线，把的面积转化为和的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
20.【答案】
【解析】解：名，即本次共调查了名学生，故答案为：；选择的学生有：名，补全的条形统计图如右图所示；树状图如下所示， 由上可得，一共有种等可能性，其中同时选中和两个社团的可能性有种，同时选中和两个社团的概率为．根据组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出同时选中和两个社团的概率．本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
21.【答案】
【解析】解：当时，▱为矩形．故答案为：；证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，≌，，，▱为矩形．根据矩形的判定定理选择条件即可；根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论．本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得≌，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
22.【答案】解：设今年龙虾的平均亩产量为，则去年龙虾的平均亩产量为，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：今年龙虾的平均亩产量为．
【解析】设今年龙虾的平均亩产量为，则去年龙虾的平均亩产量为，利用养殖面积总产量平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，点，分别为边，的中点，是的中位线，，；故答案是：，；特例研讨：如图所示，连接，，， 是的中位线，，，将绕点顺时针旋转为锐角，得到，，；，点，，在同一直线上，，在中，是斜边的中点，，，是等边三角形，，即旋转角，，，是等边三角形，又，，，，，；如图所示，连接， ，，，，，，∽，，设，则，在中，，则，在中，，，解得：或舍去，；如图所示，当点，，在同一直线上时，且点在上时， ，，设，则，是的中位线，，，将绕点顺时针旋转，得到，≌，，，，点，，在同一直线上，，，，，，在同一个圆上， ，，，，如图所示，当在上时， ，，，，，在同一个圆上，设，则，将绕点顺时针旋转，得到，设，则，则，，，，，，，，综上所述，或．，点，分别为边，的中点，则是的中位线，即可得出结论；特例研讨：连接，，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；连接，证明∽，则，设，则，在中，，，则，在中，，勾股定理求得，则；当点，，在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则，，在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得，，，在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解．本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线：经过，两点，，解得：，抛物线的表达式为．存在点，使得四边形为正方形．理由：如图，过点作轴于点，则， ，，，，四边形是正方形，，，，，，≌，，，，当时，，点在抛物线上，过点作轴于点，同理，≌，，，，．抛物线上存在点，使得．，抛物线的顶点坐标为，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，，，设直线的解析式为，把，代入得，解得：，直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，则，，， ，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，即点与点重合时，，；，，，，点与点关于直线对称，；综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．
【解析】运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；过点作轴于点，则，由正方形性质可得，，进而可证得≌，得出，，即，再证明点在抛物线上，过点作轴于点，同理，≌，即可求得．先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．