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2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控高二年级数学试题卷注意事项：1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟。2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是等比数列，满足，公比，则（）A．2 B．4 C．8 D．162．直线在轴上的截距为（）A． B．2 C． D．13．随机变量与满足，若，则（）A．8 B．5 C．4 D．24．为研究数学成绩（单位：分，满分150分）与物理成绩（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表数学成绩 100 1377 116 142 125物理成绩 89 89 97 85根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为，由此可知表中的的值为（）A．78 B．85 C．88 D．905．正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.76 B．0.38 C．0.24 D．0.126．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．107．在的展开式中，含的项的系数是（）A．120 B．240 C．274 D．2828．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知直线，圆，则下列结论正确的有（）A．直线过定点B．直线与圆恒相交C．直线被圆截得的弦长最短为4D．若直线被圆截得的弦长为，则10．不透明的盒子里装有除颜色外无异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（）A．两次摸到的都是红球的概率为B．第二次摸到的是红球的概率为C．第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为D．第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为11．在棱长为1的正方体中，为的中点，为底面上一点，则下列结论正确的是（）A．若为中点，则B．若平面，则点的轨迹长度是C．若，则点在圆上D．若直线与所成角为45°，则点在双曲线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在点处的切线方程为____________．13．若安排5名同学去校园三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答）14．已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为____________；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则____________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．16．（15分）石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．附：，其中．0.1 0.05 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.82817.（15分）函数（1）令，讨论函数的单调性；（2）若，且在实数上恒成立，求的最大值．18．（17分）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．（1）求拋物线的标准方程；（2）若点坐标为，证明：直线过定点；（3）若，求面积的最小值．19．（17分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布 伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．（ⅰ）证明：数列为递增数列；（ⅱ）已知时，，证明：．2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控高二年级数学试题参考答案一、单项选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A D B C C B二、多项选择题题号 9 10 11答案 ABD AC BCD三、填空题12．13．6014．（1）（2）或四、解答题15．（1）面（2）为正方形且面以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系设平面的法向量为则令，则直线与平面所成角的大小为．16．（1）材料 材料 合计实验成功 4 3 7实验失败 1 2 3合计 5 5 10提出假设：实验的结果与材料无关根据列联表中的数据可求得，所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；（2）设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布，成功的概率为，即，则的可能取值为0，1，2，分布列为0 1 2或17．（1）（1）时，恒成立，在上单调递增（2）时，时，，在上单调递减在上单调递增综上所述：时，在上单调递增时，在上单调递减，在上单调递增（2）结合（1）与题意可得，即从而得令时，在上单调递增时，在上单调递减，即的最大值为．18．（1）拋物线的准线方程为且焦点在轴的非负半轴上抛物线的标准方程为（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立得为直角，直线的方程为，过定点（3）由拋物线的对称性，不妨设三点的坐标分别为，且，不妨记直线的斜率为，且，则直线的斜率为，则结合（*）得（仅当时取得等号）（此时为坐标原点）19．（1）因为；当时，，当时，符合此式，所以（2）（ⅰ）证明：记，则，则，所以数列为递增数列．（ⅱ）当时，，由伯努利不等式，得．于是．所以当时，，，即，当时，，不等式成立；当时，，不等式成立；当时，，不等式成立；综上所述，不等式恒成立．
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