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2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数（i为虚数单位）的实部是（）A.1 B. C.2 D.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A. B. C. D.6.已知平面向量，.若，则实数（）A. B.3 C. D.127.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A. B. C. D.8.设，下列选项中正确的是（）A. B. C. D.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数近似刻画了茶水温度（单位：℃）随时间（单位：min）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：，）（）A.5min B.7min C.9min D.11min10.设，是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（）A. B.1 C. D.212.如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（）A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A. B. C. D.14.下列选项中正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行15.在锐角中，有（）A. B.C. D.16.已知，设，是函数与图象的两个公共点，记.则（）A.函数是周期函数，最小正周期是 B.函数在区间上单调递减C.函数的图象是轴对称图形 D.函数的图象是中心对称图形非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数则______，______.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm），那么一个石凳的体积是______（单位：）.19.已知实数，，则的最小值是______.20.已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.（11分）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.22.（11分）已知函数.（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）当时，恒成立，求实数的最大值.23.（11分）已知函数，其中.（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：函数存在唯一零点；（3）设，证明：.参考答案1.D [∵，，∴.故选：D.]2.C [复数的实部是2，故选：C.]3.D [∵，∴，即函数的定义域为.故选：D.]4.A [∵，∴.∵，∴.故选：A.]5.C [5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，摸到黄球的概率为.故选：C.]6.B [由，可得，.故选：B.]7.D [，故选：D.]8.A9.B [当，，已经接近60，又函数在上单调递减，则大约在7min时口感最佳.故选：B.]10.B 11.D12.C [取，的中点，，连接，交于点（重心），连接，则平面，过作，交于点.当时，平面平面，此时二面角的平面角的余弦值为（射影法）；当从运动到的过程中（图），为二面角的平面角的补角，且增大，增大，故二面角的平面角减小；当时，二面角为直二面角；当从运动到的过程中（图），为二面角的平面角，且减小，减小，故二面角的平面角减小.]13.BD [A中，过第一、二象限；B中，过第一、三象限；C中，过第一、二象限；D中，过第一、三象限.故选：BD.]14.AC15.ABC [因为，故A正确；因为，故B正确；因为，故C正确；当，故D错误.]16.BC [分别作出与（周期为）的图象（如图）.当时，单调递增；当时，单调递减，故B正确；作出的图象（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为，故A错误；对于任意，此时作关于的对称函数，且也关于对称，故，即关于对称，故C正确，D错误.故选：BC.]17.4 2 [；.答案：4；2.]18. [正方体的体积为，截去的一个四面体的体积为，则石凳的体积为.]19. [，当且仅当时取等号.]20. [，令，，.]21.解：（1）第三组的频率为.（2）平均值，因为，，所以第25百分位数为.22.解：（1）.（2），所以函数的最小正周期.（3）当，恒成立，即，所以，因为，所以，解得，即实数的最大值为.23.解：（1）若.（2）证明：在上单调递增，且，，由零点存在定理得在内有唯一零点.（3）证明：若，则，.又，，令，又，所以的图象开口向上，对称轴，所以在上单调递增，，即.所以.
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