（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；

（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；

（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.

【详解】（I），则，

又，则切线方程为；

（II）令，则，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，

当时，，则，单调递增，

当时，，则，单调递减，

为的极大值点，故存在唯一的极值点；

（III）由（II）知，此时，

所以，

令，

若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，

，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，故，

所以实数b的取值范围.