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中小学教育资源及组卷应用平台圆（压轴题）--中考数学历年中考真题考点分类专项训练一、单选题1．（2018·湖北武汉·统考中考真题）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3，故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.2．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．34 D．10【答案】D【详解】分析：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．详解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN-MP=EF-MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选D．点睛：本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．3．（2017·贵州黔东南·中考真题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°【答案】A【详解】解：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性质，此题是一道综合题目，解决此题的关键是合理的推理正确的计算．4．（2016·山东泰安·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）A．1： B．1： C．1：2 D．2：3【答案】D【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE）=（×ABAB）：（×ABAB）=2：3．故选D【点睛】考点：（1）圆周角定理；（2）三角形的角平分线定理；（3）三角形的面积的计算；（4）直角三角形的性质.5．（2015·浙江金华·中考真题）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值．【详解】解：连接、、，如图所示：设的半径是，则，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即的值是，故选：C．【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长．6．（2015·广西河池·统考中考真题）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【详解】∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，4），∴OB=4，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=OB=×4=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=PA=6-x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．【点睛】考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．7．（2019·四川宜宾·统考中考真题）如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，，则与的边所围成阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、，过点O作，垂足为N，由点O是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积．【详解】解：连接、，过点O作，垂足为N，∵为等边三角形，∴，∵点O为的内心∴，．∴．∴．，∵，，∴，∴，∴．∵，∴，即．在和中，，∴．∴故选C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．8．（2018·内蒙古赤峰·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【详解】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5．∵S△ABC= AB CH=AC OB，∴AB CH=AC OB，∴5CH=(4+1)×3，解得：CH=3，∴EH=3﹣1=2．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值5×2=5．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．（2021·四川泸州·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A． B． C． D．【答案】A【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得．【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD= DE+CE = AD+BC =10，∴AD+BG +GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴，∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，∴，解得，．故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．10．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为（）A．18° B．21° C．22.5° D．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是，可知，根据，可知、的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，为等腰三角形，再根据可求得的度数．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，，∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．11．（2021·四川泸州·统考中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，有题意可知，∴，∴S圆=．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB为弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圆=．故答案为A．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．12．（2020·四川·统考中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．13．（2020·山东临沂·中考真题）如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：连接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵，点D为弦的中点∴∠DOC=40°，∠BOC=100°设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC=∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x∴∠OED＜∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案为C．【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．14．（2020·浙江温州·统考中考真题）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．【详解】解：连接OB∵菱形OABC∴OA=AB又∵OB=OA∴OB=OA=AB∴△OAB是等边三角形∵BD是圆O的切线∴∠OBD=90°∴∠AOB=60°∴∠ODB=30°∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =故答案为D．【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．15．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，∵，，∴∵，∴∵点O是AB的三等分点，∴，，∴，∵⊙O与AC相切于点D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，,∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.16．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．【详解】解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO= =6∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ACB=30°，CD= BC=∴AD= =3∴⊙A的半径为3,∴⊙O与⊙A的半径和为6∵AO=6∴⊙O与⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直线是⊙A的切线∴BC所在的直线与⊙O相切∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切故答案选C．【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．17．（2022·安徽·统考中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．【详解】解：如图，，，∴=====，∴，设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，则，，∴，∴，∵△ABC是等边三角形，∴，，∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．18．（2021·广西梧州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.【详解】解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，是等边三角形，故选：【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.19．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接，过点作，此时点坐标可表示为，∴，，在中，，又∵半径为5，∴，∵，∴，则，∴，∴，∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．20．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．二、填空题21．（2018·广东韶关·中考真题）如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留【答案】π．【分析】如图所示，连接OE交BD于点F，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，再证△EFB≌△OFD，即可将阴影部分面积转化为扇形OED的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案．【详解】如图所示，连接OE交BD于点F，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，∴OE=OD=2，在矩形中，∵∴四边形OECD为正方形，∴CE=OD=2，∴BE=BC-CE=2，∴BE=DO，∵AD//BC，∴∴△EFB≌△OFD，∴阴影部分的面积= .故答案为π．【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.22．（2016·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．【答案】6【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值为6．故答案为6．【点睛】圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．23．（2018·湖北咸宁·统考中考真题）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】①③④【详解】【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；②以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．【详解】①∵A、C关于直线OM'对称，∴OM'是AC的垂直平分线，∴CD=AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，∴OA=OB=OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，∵∠MON=120°，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E=60°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，由①得：CD=AD，∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD=CD，∴OC=OA=AD=CD，∴四边形OADC为菱形，故③正确；④∵CD=AD，∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，∴△ACD面积的最大值是：AC2=，故④正确，所以本题结论正确的有：①③④，故答案为①③④．【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.24．（2018·黑龙江伊春·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．【答案】2-2【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．【详解】如图：取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，由以上作图可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，∵D′C’=4，OC′=6，∴D′O=，∴D′G=-2，∴PD+PG的最小值为-2，故答案为-2.【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.25．（2018·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．【答案】0或或4【详解】【分析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆，观察圆和矩形矩形边的交点个数即可得到结论.【解答】当点F与点A重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.当点F从点A向点B运动时，当时，共有4个点P使是以为斜边.当时，有1个点P使是以为斜边.当时，有2个点P使是以为斜边.当时，有3个点P使是以为斜边.当时，有4个点P使是以为斜边.当点F与点B重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.故答案为0或或4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.26．（2017·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B的坐标分别是，，动点P在直线上运动，以点P为圆心，长为半径的随点P运动，当与四边形的边相切时，P点的坐标为__.【答案】（0，0）或或．【分析】分四种情况，根据直线与相切的性质和一次函数图像上点的坐标特点，画出图形，分析作答即可．【详解】解：①当与BC相切时，∵动点P在直线上，∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，∴P（0，0）．②∵平行四边形的顶点A，B的坐标分别是，，∴点C的坐标是，∴直线的解析式是，∵直线的解析式是，∴，如图1中，当与OC相切时，则，是等腰三角形，作轴于E，则，易知P的纵坐标为1，可得P．③如图2中，当与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得，解得或，∵，∴不会与OA相切，∴不合题意，∴．④如图3中，当与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时，∵，∴不成立，∴此种情形，不存在P．综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或或．故答案为：（0，0）或或．【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征等知识，正确分类、熟练掌握直线与相切的性质是解题的关键．27．（2019·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)①AM平分∠CAB；②AM2＝AC AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.【答案】①②④【分析】连接OM，由切线的性质可得OM⊥PC，继而得OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得的长可判断③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，继而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，进而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的长，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判断④.【详解】连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，∴BD∥AC//OM，∴△PBD∽△PAC，∴，∴PB＝PA，又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，∴PB=OB=AO，又∵BD∥AC//OM，∴PD=DM=CM，∴OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2∴PD==，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确，故答案为①②④.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.28．（2019·湖北荆门·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.【答案】.【分析】过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】过作于，于，等边三角形的边长为2，，，，，，图中阴影部分的面积，故答案为．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29．（2019·河南·统考中考真题）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．【答案】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决．【详解】解：作于点F，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故答案为．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．30．（2019·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）【答案】【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°∴AO=AB=1，由勾股定理得，又∵AC=2，BD=2，∴调影部分的面积为：故答案为【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.三、解答题31．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，∴cos∠ECB＝＝＝，∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，∴cos∠CDA的值为．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．32．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；(3)在（2）的条件下，求的面积．【答案】(1)见解析(2)3(3)【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论；（2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；（3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积．【详解】（1）解：证明：如图，连接，为劣弧的中点，，，又为⊙O的切线，，；（2）解：如图，连接，，设，则，为劣弧的中点，，，又，，，，，为⊙O的直径，，又⊙O的半径为，，由得，解得或（舍），；（3）解：如图，设与交于点，由（2）知，，，在中，，，，，又，，，，，为⊙O的直径，，由（1）可知，，四边形为矩形，，，．【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键．33．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)(3)⊙O的直径为【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则∠OFD＝∠C＝，根据切线的判定定理可得出结论．（2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，从而可求出sin∠FHG的值．（3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得，再证△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得，又由角平分线的性质可得，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的直径．【详解】（1）证明：连接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OFAC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG=（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，S△DHF∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝∴FH＝FG＝4，∴设DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF ∴∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴⊙O的直径为【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．34．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求⊙的半径及的长．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案．【详解】（1）证明：如图，作，垂足为H，连接，∵，D是的中点，∴，∴，∵，又∵，∴∠BDC=2∠FAC，∴，即是的平分线，∵O在上，与相切于点E，∴，且是的半径，∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，∴是的半径，∴是的切线．（2）解：如（1）图，∵在中，，∴可设，∴，则，设的半径为r，则，∵，∴，∴，即，则，在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，由勾股定理得，又，∴，在中，由勾股定理得：．【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．35．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则，∴，解得：；∴⊙O的半径为；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．36．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)CE的长为2．【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．【详解】（1）证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，∴∠OAE+∠PAE=90°，∵DE为⊙O的直径，∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠PAE，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADE，∴∠ADE=∠PAE；（2）证明：∵∠ADE=30°，由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，∴∠APE=∠PAE =30°，∴AE=PE；（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．∴AB⊥PD，∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，∴∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，即DC×CE=OC×PC，设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，∴6x=(3-)( 4+x)，整理得：x2+10x-24=0，解得：x=2(负值已舍)．∴CE的长为2．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．37．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据SAS证明即可得到结论；（2）证明即可得出结论；（3）先证明，连接，证明，设，，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论．【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径的中点∴，∵，∴∵，∴∵∴，∴；（2）如图2．∵，∴由（1）得，∴∴，∴∵∴，∴（3）如图3．∵，∴∴连接．∵∴，∴，∵设，∴在上取点M，使得，连接∵，∴∴，∴为等边三角形∴∵，∴∴，∴∴，过点H作于点N，∴，∴∵，，∴∵，∴，∴∴，在中，，∴∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．38．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当时，求弦的长．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据BC是△ABC外接圆⊙O的直径，得∠BAC=90°，由因为∠ACD=∠B，得∠BCD=90°，即可得答案；（2）先证△FEA∽△CEG，得，又因为AE=CE，EF=2EG，得CE2=2EG2，得OC2-OE2=EC2，即可得答案；（3）作ON⊥FG，延长FG交线段于点W，得四边形ONWC为矩形，得NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-0.5EG，得（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，得EG=，即可得答案．【详解】（1）解：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，∵ OC 是 OO 的半径，∴CD 是 OO 的切线；（2）如下图，连接AF、CG，∴∠AFE=∠ECG，∵∠AEF=∠CEG，∴△FEA∽△CEG，∴，∵点E为AC中点，∴AE=CE，∵EF=2EG，∴， ∴CE2=2EG2，∵∠BAC=90°，点E为AC中点，∴EOAB，∴∠OEC=90°，∴OC2-OE2=EC2，∴OC2-OE2=2EG2，∴（OC+OE）（OC OE）=EG EF；（3）作ON⊥FG，延长FG交线段于点W，∵BC=16，∴OC=8，∵FGBC，∴四边形ONWC为矩形，∴NW=OC=8，CW=ON，∵EF=2EG，∴FG=3EG，∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-EN=8-0.5EG，由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，∴CE2=2EG2， EW2=（8-0.5EG）2，∵∠ONE=∠OEC=90°，∴OE2=OC2-CE2，ON2=OE2-EN2，∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，∵∠CME=90°，∴EW2+CW2=CE2，∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，解得EG=，∴FG=3EG=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作合适的辅助线．39．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．(1)求证：．(2)若，，求的长．(3)在点C运动过程中，当时，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．【详解】（1）解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴．（2）连接OC，∵，∴MN是直径，∵，∴OM=ON=OC=5，∵，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴OC⊥MN，∴∠COE=90°，∵AB⊥MN，∴∠BPE=90°，∴∠BPE=∠COE，又∵∠BEP=∠CEO，∴∴，即由，∴，∴，，∴．（3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，∴∠CMG+∠GCM=90°，∵MN是直径，∴∠MCN=90°，∴∠CNM+∠DMP=90°，∵∠D+∠DMP=90°，∴∠D=∠CNM=∠GCM，∵，∴，∵∴设∴∴∴∴∵，且，∴，，∵，∴，∴，∴，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，∴，∴，即∴，∴，，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．40．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS证明，得到，最后同旁内角互补，即可得（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积【详解】（1）连接BD∵AB是的直径∴∴∵∴∵∴，∴∵，∴∴又∵∴∴BF是的切线（2）连接OE，与BD相交于M点∵，，∴为等腰直角三角形∴，，∴∴∴∵，∴∴∴∴为等腰直角三角形∴∴【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识是本题关键41．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接OD，由题意可证，由，可得，即可证得EF是⊙O的切线；(2) 连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N，首先根据勾股定理可求得BC，根据面积可求得CM，再根据勾股定理可求得AM，再根据圆周角定理可证得，即可求得DN、ON的长，据此即可解答．【详解】（1）证明：如图：连接OD，，，又平分，，，，又，，是⊙O的半径，EF是⊙O的切线；（2）解：如图：连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N，，是⊙O的直径，，，，，∴，，，，，，，是⊙O的直径，AB=10，，，，ON=3，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键．42．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．【详解】（1）如图，连接，，则，设，，，，为的直径，，，即，，，，，，，，为的半径，是的切线；（2）如图，连接，是的切线，则，又，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得 ．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．43．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．【答案】(1)为等腰直角三角形，详见解析(2)【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；（2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：证明：∵平分，平分，∴，．∵，，∴．∴．∵为直径，∴．∴是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接，，，交于点．∵，∴．∵，∴垂直平分．∵是等腰直角三角形，，∴．∵，∴．设，则．在和中，．解得，．∴．∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．44．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，=，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．(1)求证：CG=DG；(2)已知⊙O的半径为6，，延长AC至点B，使．求证：BD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由=，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD是⊙O的切线，只要证明OD⊥BD，只要证明BD∥CE，通过计算求得sin∠B=，即可证明结论．【详解】（1）证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵=，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；（2）证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵=，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵，∴sin∠ODF=sin∠OCH=，即=，∴OF=，由勾股定理得DF=，FC=OC-OF=，∴FB= FC+BC=，由勾股定理得DB==8，∴sin∠B==，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．45．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，又∵∠CON=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+OC=6，设AN=x， ∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），∴AN=3，∴AB=2AN=6；（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，∴OB=8，C（4，0）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得BC=，∵BD是⊙M的直径，∴∠BCD=90°，BD=10，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得CD=，即CD2=20，在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，∴20-CP2=10CP-CP2， ∴CP=2，∴PD2=20-CP2=20-4=16，∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，∴D（8,-2），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得，解得：，∴直线CD的解析式为：．【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．46．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．【答案】(1)见解析(2)BF=5，【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．【详解】（1）解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF= AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．47．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)若，，求点O到AD的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)点O到AD的距离为【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；（2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽；（3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：连接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC为直径，∴O为BC中点，∴．∵，∴．又∵OD为半径，∴PD是的切线；（2）证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴．又∵，∴，∴∽．（3）过点O作于点E，∵BC为直径，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴点O到AD的距离为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．48．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．【答案】(1)证明过程见详解(2)①；②【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．【详解】（1）连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面积为．【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．49．（2021·山东德州·中考真题）已知为的外接圆，．(1)如图1，延长至点，使，连接．①求证：为直角三角形；②若的半径为4，，求的值；(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．【答案】(1)①见解析；②；(2)，理由见解析【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．【详解】（1）①，，．∴∠B=∠DCB，∴∠BAC=∠DCA，∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，∴∠DCB+∠DCA=90°．为直角三角形；②连接，，如图，，，且．的半径为4，．设，则，，，．解得：．．由①知：，，．，．（2），，三者之间的数量关系为：．理由：延长交于点，连接，，如图，，，．，．．．与关于对称，，，． ．．即．，．在和中，，．．．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．50．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．（1）求证：CF是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线；（2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：，，，，，，，又，，，，，，，，AB是的直径，，又，，，，即CF是的切线；（2）CF是的切线，，，，，又，在中，，设的半径为x，则，，在中，，解得：，的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台圆（压轴题）--中考数学历年中考真题考点分类专项训练一、单选题1．（2018·湖北武汉·统考中考真题）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B． C． D．2．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．34 D．103．（2017·贵州黔东南·中考真题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°4．（2016·山东泰安·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）A．1： B．1： C．1：2 D．2：35．（2015·浙江金华·中考真题）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）A． B． C． D．26．（2015·广西河池·统考中考真题）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．127．（2019·四川宜宾·统考中考真题）如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，，则与的边所围成阴影部分的面积是（）A． B． C． D．8．（2018·内蒙古赤峰·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．209．（2021·四川泸州·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A． B． C． D．10．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为（）A．18° B．21° C．22.5° D．30°11．（2021·四川泸州·统考中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）A． B． C． D．12．（2020·四川·统考中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．213．（2020·山东临沂·中考真题）如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（）A． B． C． D．14．（2020·浙江温州·统考中考真题）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C． D．15．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．816．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（2022·安徽·统考中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（）A． B． C． D．18．（2021·广西梧州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）A．34 B．12 C．6+3 D．619．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（）A． B． C． D．20．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（）A．3 B． C． D．二、填空题21．（2018·广东韶关·中考真题）如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留22．（2016·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．23．（2018·湖北咸宁·统考中考真题）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．24．（2018·黑龙江伊春·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．25．（2018·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．26．（2017·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B的坐标分别是，，动点P在直线上运动，以点P为圆心，长为半径的随点P运动，当与四边形的边相切时，P点的坐标为__.27．（2019·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)①AM平分∠CAB；②AM2＝AC AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.28．（2019·湖北荆门·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.29．（2019·河南·统考中考真题）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．30．（2019·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）三、解答题31．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．32．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；(3)在（2）的条件下，求的面积．33．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．34．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求⊙的半径及的长．35．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．36．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．37．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．38．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当时，求弦的长．39．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．(1)求证：．(2)若，，求的长．(3)在点C运动过程中，当时，求的值．40．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．41．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的值．42．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．43．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求的长．44．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，=，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．(1)求证：CG=DG；(2)已知⊙O的半径为6，，延长AC至点B，使．求证：BD是⊙O的切线．45．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．46．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．47．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)若，，求点O到AD的距离．48．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．49．（2021·山东德州·中考真题）已知为的外接圆，．(1)如图1，延长至点，使，连接．①求证：为直角三角形；②若的半径为4，，求的值；(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．50．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．（1）求证：CF是的切线；（2）若，，求的半径．21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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