咸阳市2023年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，那么
A. B. C. D.
2.已知复数满足，那么复数的共轭复数在复平面上对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.为庆祝中国共产党二十大胜利召开，某学校团委举办了党史知识竞赛（满分100分），其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1200，900，900.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高一、高二年级参赛选手成绩的样本平均数分别为85，90，全校参赛选手成绩的样本平均数为88，则高三年级参赛选手成绩的样本平均数为
A.87 B.89 C.90 D.91
4.函数的大致图像为
A. B. C. D.
5.若，满足约束条件，则的最大值为
A.2027 B.2026 C.2025 D.2024
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，，则
其中正确的命题是
A.②③ B.②④ C.①③ D.①②
7.2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.有甲，乙，丙三个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙中的任何一个人，以此类推，则经过两次传球后又传到甲的概率为
A. B. C. D.
8.已知数列为等比数列，公比，若，，则
A.4 B.8 C.16 D.32
9.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：.某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算的值来估算，则判断框填入的是
A. B. C. D.
10.如图，四棱锥中，平面，底面为边长为4的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为
A. B. C. D.
11.已知双曲线（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，那么在点处的切线方程为___________.
14.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为45°，则线段的中点到轴的距离是___________.
15.已知非零向量，，满足，，的夹角为120°，且，则向量，的数量积为___________.
16.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形（圆和、、弧均相切），作圆与圆、、相切，再作圆与圆、、相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的周长.
18.（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示.
学生序号
1
2
3
4
5
6
学习时长/分
220
180
210
220
200
230
（Ⅰ）若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
（Ⅱ）下表是某班统计了本班同学2022年1-7月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人均月课外劳动时间关于月份的线性回归方程，与的原始数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间
8
9
12
19
22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知.
（1）求，的值；
（2）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）.
附：，，.
20.（本小题满分12分）椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点是椭圆上任一点，则该椭圆在点处的切线方程为.已知是椭圆上除顶点之外的任一点，椭圆在点处的切线和过点垂直于该切线的直线分别与轴交于点、.
（1）求证：.
（2）在椭圆上是否存在点，使得的面积等于1，如果存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数，，.
（Ⅰ）求在区间上的最值.
（Ⅱ）当时，恒有，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知：，.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ），若图像与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数的取值范围.
咸阳市2023年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D 10.D 11.B 12.B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.3 15.0 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（Ⅰ）由题意在中，，∴，
∴，∵，∴.
（Ⅱ）在中，，
由正弦定理可得，，
又，∴.
由余弦定理可得，
∴，∴，∴的周长为：.
18.解：（Ⅰ）连接，，
∵，分别为，中点，∴为的中位线，∴且，
又为中点，且，∴且，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，
∴，交换三棱锥的顶点可知，，
在矩形中，.
∵四边形为菱形，，为的中点，∴，
∵，∴平面，为三棱锥的高，
，，
∴三棱锥的体积为.
19.解：（Ⅰ）用表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为和，则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
由已知，序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
∴事件中基本事件有，，，，，，共6个，∴.
（Ⅱ）（1）由表知，，
∴，
∴，即，①
∵回归直线恒过样本点的中心，∴，即，②
由①②，得，，③
∵，∴，④
由③④，得，.
（2）∵线性回归方程为，
∴当时，预测值，此时残差为.
20.解：（Ⅰ）由已知得，即椭圆的方程为：.
（Ⅱ）（1）依题意得，直线，令，得，
直线方程为，令，得，
又∴，即.
（2）由①知为直角三角形，又，，
∴，
当且仅当时取等号，即，
又∵为椭圆上异于顶点外的任意一点，∴，
∴，故不存在这样的点使得.
21.解：（Ⅰ），令得，当时，，
当时，，∴，
又∵，∵，，∴，
∴在区间上的最小值为1，最大值为.
（Ⅱ）令，
注意到，只要即可，，，
令，则，
当时，，有，即，符合题意；
当时，，
若，即时，，此时，即，符合题意；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，
∴，不合题意，综上.
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（Ⅰ）曲线（为参数），消去得它的普通方程为，
直线化为直角坐标方程为.
（Ⅱ）直线化为参数式为（为参数），
与联立得，即.∴，，
∴.
23.解：（Ⅰ）当时，，
，即或或，解得或，
即不等式的解集为.
（Ⅱ），如图所示
图像与两坐标轴交于点，，
，
依题意，即.