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吕梁市2024年高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名 准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）A.B.C.D.3.设，则对任意实数是的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A.B.C.D.5.已知实数满足，则的可能值为（）A.6B.3.5C.2.5D.4.56.设，当变化时的最小值为（）A.B.C.D.7.在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（）A.4B.6C.8D.4.58.设函数.若实数使得对任意恒成立，则（）A.-1B.0C.1D.二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当最大B.使得成立的最小自然数C.D.中最小项为10.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.是公差为-1的等差数列11.已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（）A.若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B.平面平面C.若，则的最小值为D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________.14.对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足，则a的值为________.四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）国家高度重视食品、药品的安全工作，某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）；（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数 ， 近似为样本方差 ，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（结果保留整数）.附参考数据与公式：，则，16.（本小题15分）已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若对任意的，倠恒成立，则实数的取值范围.17.（本小 15分）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面四的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.（1）求证：，并求三棱锥的体积；（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.18.（本小题17分）如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.19.（本小题17分）对于无穷数列，若对任意且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，①若是“数列”，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.数学参考答案1.D【详解】因为，则则其对应的点为，所以在第四象限.故选：D.2.B【详解】在中，取为基底，则，因为点分别为的中点，所以，所以.故选：B.3.C【详解】的定义域为，且，因为为奇函数，当时，函数均为单调递增函数，所以在单调递增.进而可得在上单调递增，，故对任意实数是的充要条件，故选：C4.C5.B【详解】因为实数满足所以，则，即.令，则.所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.令，解得：；令，解得：，所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.作出函数的图象：又因为，所以.故选：B6.C【详解】在上，在上，设到准线做墼线交准线于点轴于.，又为焦点到上点的最小值，故，故选C.7.A【详解】由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，所以，即，由椭圆定义可知，即，所以到中点距离的最大值为，所以中，时的最大值为38.B【详解】函数，依题意，对任意的恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：B.二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD【详解】根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.10.BCD【详解】设，由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以，所以选项错误.根据椭圆和双曲线的定义得：所以，由余弦定理得，，，B选项正确.，C选项正确.，，D选项正确.故选：BCD.11.BCD【详解】对于，选项，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则则因为所以，故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面显然成立.故B正确；对于C，如图1，在上取点，使得，在上取点，使得，则由，即，故点是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当三点共线时（如图2），取得最小值，故C正确；对于D，因为，所以，又，可知是线段上一点，如图3，连接并与交于点.当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当在线段（不含点）上时，如图4，延长异与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确，故选BCD.三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1513.【详解】由，可得，所以①，且，又可设直线的方程为：，与抛物线联立得：，，故，从而②，结合①②可得从而.故答案为：14.或【详解】当时，，由可得，此时；当时，，或.若，则由可得，因，故无解；若，则由可得，此时，即；当时，，因区间的长度至少为，故，而显然不成立，故舍去；综上，a的值为或.故答案为：或.四 解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：由频率分布直方图得内，，解得中位数（分）.（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，的可能取值为，，的分布列为：0 1 2（3）由题意得，（家）估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.16.解：（1）的定义域为，令，又，，当，即时，，此时在上单调递增，当，即时，令，解得其中，当时，在单调递增，在单调递减；当时，，故在单调递减，单调递增.综上：在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令在，若恒成立，符合题意.，当恒成立，令则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，若，同理恒成立，由知，当所以不存在满足条件的.综上所述：法二：.令，则只需在单调递增，即恒成立，令，则恒成立；又①当时，在单调递增成立；②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；③当时，由得在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以解得综上，.17.解：（1）设，连接，为底面圆的内接正三角形，为中点，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又面，又面，又面，所以又平面，平面平面平面；为中点，，即，又平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）为中点，又，为中点，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，；设平面的法向量，则则令，解得：，设直线与平面所成角为，，令，则，，当，即时，，，此时，，点到平面的距离.18.解：（1）由题知，设为椭圆上任意一点，由得又，得又，得所以椭圆的标准方程为.（2）因为点在椭圆上，则，即，又因为，取，所以，所以切线的斜率，所以切线方程为由，可得，假设，所以切线方程为：，即，所以切线的方程为，令得，令知：得，，则直线，①，则直线，②由①②知：，点的轨迹方程为，即存在定点，使得为定值6.19.解：（1）数列的通项公式为，对任意的，都有，取，则，所以是“数列”.（2）数列为等差数列，①若是“数列”，且，则，对任意的，，由题意存在，使得，即，显然，，所以，即，.所以是8的正约数，即，时，时，；时，时，.综上，的可能值为.②若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列公差为，则，可得，对任意，则，取，可得，所以数列是“数列”.
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