2014年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）

2014年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）

A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}

C．{0，1} D．{﹣1，0}

2．（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A．30B．20 C．15 D．10

3．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度

4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A．＞B．＜ C．＞ D．＜

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）

A．0B．1 C．2 D．3

6．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A．192种B．216种 C．240种 D．288种

7．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）

A．﹣2B．﹣1 C．1 D．2

8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A．[，1]B．[，1] C．[，] D．[，1]

9．（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：

①f（﹣x）=﹣f（x）；

②f（）=2f（x）

③|f（x）|≥2|x|

其中的所有正确命题的序号是（）

A．①②③B．②③ C．①③ D．①②

10．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A．2B．3 C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．（5分）复数= ．

12．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= ．

13．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．

15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

17．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

18．（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．

（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．

20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

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2014年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）

A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}

C．{0，1} D．{﹣1，0}

【专题】11：计算题．

【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．

【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，

∴A∩B={﹣1，0，1，2}．

故选：A．

【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．

2．（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A．30B．20 C．15 D．10

【专题】5P：二项式定理．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．

【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，

令r=2可得，T3=C62x2=15x2，

∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，

在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．

故选：C．

【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．

3．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，

即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A．＞B．＜ C．＞ D．＜

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】利用特例法，判断选项即可．

【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，

则，，∴A、B不正确；

，=﹣，

∴C不正确，D正确．

解法二：

∵c＜d＜0，

∴﹣c＞﹣d＞0，

∵a＞b＞0，

∴﹣ac＞﹣bd，

∴，

∴．

故选：D．

【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）

A．0B．1 C．2 D．3

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，

画出可行域如图：

当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．

故选：C．

【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

6．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A．192种B．216种 C．240种 D．288种

【专题】12：应用题；5O：排列组合．

【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．

【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，

根据加法原理可得，共有120+96=216种．

故选：B．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

7．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）

A．﹣2B．﹣1 C．1 D．2

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），

∴=m+=（m+4，2m+2），

又∵与的夹角等于与的夹角，

∴=，

解得m=2，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．

8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A．[，1]B．[，1] C．[，] D．[，1]

【专题】5G：空间角．

【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．

【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．

不妨取AB=2．

在Rt△AOA1中，==．

sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，

=1．

∴sinα的取值范围是．

故选：B．

【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．

9．（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：

①f（﹣x）=﹣f（x）；

②f（）=2f（x）

③|f（x）|≥2|x|

其中的所有正确命题的序号是（）

A．①②③B．②③ C．①③ D．①②

【专题】51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．

【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．

【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），

∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；

f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；

当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））

∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，

又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；

故正确的命题有①②③，

故选：A．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．

10．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A．2B．3 C． D．

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB与x轴的交点为M（m，0），

由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，

∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，

结合及，得，

∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，

∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，

=．

当且仅当，即时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，

故选：B．

【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．

2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．

3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．（5分）复数=﹣2i．

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．

【解答】解：复数===﹣2i，

故答案为：﹣2i．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

12．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．

【专题】11：计算题．

【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，

∴=1．

故答案为：1．

【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．

13．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

【专题】12：应用题；58：解三角形．

【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．

【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，

AB=，根据正弦定理，，

得BC===60m．

故答案为：60m．

【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．

14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．

【专题】5B：直线与圆．

【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．

【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），

动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），

注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．

故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）

故答案为：5

【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）

【专题】23：新定义；3A：极限思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．

【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．

∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．

则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；

（4）对于命题④，∵﹣≤≤，

当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．

故答案为①③④．

【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，

求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．

（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，

∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），

∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）

即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），

又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，

当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．

当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．

综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；

（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．

（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．

【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．

则P（X=﹣200）=，

P（X=10）==

P（X=20）==，

P（X=100）==，

故分布列为：

﹣200

100

由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，

则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．

由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．

【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．

18．（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

【专题】5H：空间向量及应用．

【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，

（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：

平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2

设O为BD的中点，连接OA，OC

于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC

因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP

假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线

从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点

（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）

于是，，

设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和

由，则，设z1=1，则

由，则，设z2=1，则

cos===

所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值

【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．

19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．

（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．

【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．

【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点

（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出．

【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，

∴，

又等差数列{an}的公差为d，

∴==2d，

∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，

∴=b8，

∴=4=2d，解得d=2．

又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．

（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，

∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，

又，令y=0可得x=，

∴，解得a2=2．

∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．

∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，

∴bn=2n．

∴．

∴Tn=+…++，

∴2Tn=1+++…+，

两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣

=．

【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．

20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；

第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．

【解答】解：（1）依题意有解得

所以椭圆C的标准方程为+=1．

（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），

①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．

由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

所以，

于是，从而，

即，则直线ON的斜率，

又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．

从而，即kOT=kON，

所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．

②由两点间距离公式得，

由弦长公式得==，

所以，

令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），

所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．

【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：

1、设交点坐标，设直线方程；

2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；

3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．

21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；

（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．

【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，

又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，

∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；

②当，则1＜2a＜e，

∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，

∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，

g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；

③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，

综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；

（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，

若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，

由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．

若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1

令h（x）= （1＜x＜e）

则=，∴．由＞0⇒x＜

∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，

==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，

∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，

又，所以e﹣2＜a＜1，

综上得：e﹣2＜a＜1．

另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，

再证明此时f（x）min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）=g（x）=ex﹣2ax﹣b=0，

故有ex=2ax+b且f（1）=0知e﹣1=a+b，

则f（x）min=2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1=﹣ax2+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，

开口向下，最大值（5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，

只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a=1时取最大）=e2﹣4e+3＜0，

故f（x）min＜0，

故 e﹣2＜a＜1．

【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．

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2014年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）

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