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中小学教育资源及组卷应用平台北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）A．a≠0 B．a≠3C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠02．方程x（x﹣1）=x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=23．如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）不正确的（）A．B． C．D．4．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志.从而估计该地区有黄羊()A．200只 B．400只 C．800只 D．1000只5．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)7．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为()A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为()A．x(x﹣1)＝1260 B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260 D．x(x﹣1)＝12609．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF，其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④10．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是().A．+2 =0 B．+x-1=0 C．+x+3=0 D．4-4x+1=0.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．如果x1、x2是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，那么x1+x2＝_____.12．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是________．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____.14．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为______.15．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．16．如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为______.三、解答题：本大题共9小题，共72分。17．（4分）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1.18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=7，CD=5，求CE的长．19．（8分）如图所示，ABCDEF六个小朋友围着一圈做传球游戏，规定：球不得抛给自己，也不得传给其相邻左右两人，假定球最先在A手上，经过两次传球(如A→D→B).完成树状图，画出两次传球的全部可能情况，并问球又传到A手上的概率有多大？20．（8分）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．（8分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.(1)求证：△ABF≌△DEC；(2)求证：四边形BCEF是矩形.22．（8分）“十一”黄金周期间, 西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于700元)，设有x人参加这一旅游项目的团购活动.(1)当x=35时,每人的费用为______元.(2)某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.23．（8分）如图，长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为(8，4)，点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t(0≤t≤4).(1)填空：点A的坐标为____，点C的坐标为_____，点P的坐标为______(用含t的代数式表示).(2)当t为何值时，P、Q两点与原点距离相等？(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化 说明理由.24．（8分）先阅读，再解决问题.阅读：材料一、配方法可用来解一元二次方程.例如，对于方程x2+2x﹣1＝0可先配方(x+1)2＝2，然后再利用直接开平方法求解方程.其实，配方还可以用它来解决很多问题.材料二、对于代数式3a2+1，因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即3a2+1有最小值1，且当a＝0时，3a2+1取得最小值为1.类似地，对于代数式﹣3a2+1，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1≤1，即﹣3a2+1有最大值1，且当a＝0时，﹣3a2+1取得最大值为1.解答下列问题：(1)填空：①当x＝_____时，代数式2x2﹣1有最小值为______；②当x＝_____时，代数式﹣2(x+1)2+1有最大值为_____.(2)试求代数式2x2﹣4x+1的最小值，并求出代数式取得最小值时的x的值.(要求写出必要的运算推理过程)25．（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．参考答案1．B【分析】根据一元二次方程的定义选出正确选项．【详解】解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，∴，即．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．2．D【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x（x 1）＝x，x（x 1） x＝0，x（x 1 1）＝0，x＝0，x 1 1＝0，x1＝0，x2＝2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．A【详解】试题分析：正方形的对角线的长是，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.考点：正方形的性质，勾股定理.4．B【分析】根据捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志.说明有标记的占到 ，而有标记的共有20只，根据所占比例解得.【详解】20÷＝400(只).故选：B.【点睛】此题考查用样本估计总体，解题关键在于掌握统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．5．B【详解】试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选B．考点：根的判别式；点的坐标．6．B【分析】首先连接AB交OC于点D，由四边形OACB是菱形，可得，，，易得点B的坐标是．【详解】连接AB交OC于点D，四边形OACB是菱形，，，，点B的坐标是．故选B．【点睛】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直解此题注意数形结合思想的应用．7．D【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即(9﹣x)2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D.【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键．8．A【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x (x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．B【详解】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF．由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC．∵BF平分∠EBC，∴CF=MF．∴DF=CF．故①正确．∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC．∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN．∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确．∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，∴EF=FN．∴BE=BN．但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误．∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM．∴BM=3EM．∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF．故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选B．10．B【分析】利用一元二次方程根的判别式逐个选项计算，即可解答.【详解】A. +2 =0，，没有实数根；B. +x-1=0，，有两个不相等的实数根；C. +x+3=0，，没有实数根；D. 4-4x+1=0，，有两个相等的实数根；故选B【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键.11．7【分析】根据根与系数的关系求解.【详解】根据题意得x1+x2＝7.故答案为：7.【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握计算公式.12．5cm【解析】【分析】顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形,且矩形的边长分别是菱形对角线的一半,问题得解.【详解】解:如图：顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形;理由如下:E、F、G、H分别为各边中点EF//GH//AC,EF=GH=DB,EF=HG=AC,EH∥FG∥BDDB⊥AC,EF⊥EH,四边形EFGH是矩形,EH=BD=3cm,EF=AC=4cm,HF==5cm.故答案为:5cm.【点睛】本题考查菱形的性质,菱形的四边相等,对角线互相垂直,连接菱形各边的中点得到矩形,且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用.13．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率；故答案为：.【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．-1【分析】根据题意可以求得方程x2+2x﹣3＝0与＝相同的解，从而可以求得a的值.【详解】由x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，∵＝中x≠﹣3，∴方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，这个解是x＝1，∴ ，解得a＝﹣1，故答案为：﹣1.【点睛】此题考查分式方程的解，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.15．4600【详解】小敏走的路程为AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，则AG+GE=1600m，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）.连接CG，在正方形ABCD中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD，在△ADG和△CDG中，∴△ADG △CDG，∴AG=CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG=EF.又∵∠CDG=45°，∴DE=GE，∴小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600m.点睛：本题主要考查了正方形的性质，解决本题从两人的行走路线得到他们所走的路程和，可以得到AG+GE=1600m，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF），即要求出DE+EF，通一系列的证明即可得到DE=GE，EF=CG=AG，从而解决问题.16．6【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.【详解】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2+BE2，∴AB＝2，同理：BC＝2，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝2，∴S菱形ABCD＝AD BE＝6.故答案为：6.【点睛】此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线.17．x1＝1+，x2＝1﹣.【分析】利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.【详解】二次项系数化为1，得x2﹣2x＝，配方得x2﹣2x+1＝+1，即(x﹣1)2＝，开方得：x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣.【点睛】此题考查解一元二次方程配方法，解题关键在于掌握运算法则.18．（1）作图见解析；（2）．【详解】试题分析：（1）作的平分线交于，则利用角平分线的性质可得到点满足条件；（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明则 然后计算即可．试题解析：（1）如图，点E为所作；（2）∵点E到边AB，AD的距离相等，∴AE平分∠BAD，∴∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∴∴∴故答案为2．点睛：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.19．树状图见解析，.【分析】先根据题意完成树状图，再根据概率公式计算即可求解.【详解】如图所示：两次传球的全部可能情况是9种，球又传到A手上的情况是3种，故球又传到A手上的概率为.【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.20．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)首先根据AB∥DE得到∠A＝∠D，然后利用SAS定理判定全等即可；(2)首先判定四边形BCEF为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.【详解】证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝FD，∴AC﹣CF＝DF﹣CF，即AF＝CD，在△ABF与△DEC中，，∴△ABF≌△DEC(SAS)；(2)∵△ABF≌△DEC，∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，∴∠ECF＝∠BFC，∴EC∥BF，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.22．(1)800；(2)该社区共有30人参加此次“西安红色游”【分析】（1）当x=35时，根据“若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元）”可得每人的费用为1000-（35-25）×20=800元；（2）该社区共支付旅游费用27000元，显然人数超过了25人，设该社区共有x人参加此次“西安红色游”，则人均费用为[1000-20（x-25）]元，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程求x的值，结果要满足上述不等式．【详解】解:(1)当x=35时,每人的费用为1000-(35-25)×20=800(元).(2)设该社区共有x人参加此次“西安红色游”,∵1000×25=25000元∴x>25.由题意,得x[1000-20(x-25)]=27000,整理,得x2-75x+1350=0,解得x1=30,x2=45.检验:当x=30时,人均旅游费用为1000-20×(30-25)=900元>700元,符合题意;当x=45时,人均旅游费用为1000-20×(45-25)=600元∴x=30.答:该社区共有30人参加此次“西安红色游”.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键是设旅游人数，表示人均费用，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程．23．(1)A(8,0)；B(0,4)；C（0，4-t）；（2）；（3）(3)四边形OPBQ的面积不变.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等，分别写出点A、C的坐标即可，用t表示出PC的长，即可得OP的长，从而求得点P的坐标；（2）用t表示出OQ的长，根据OP=OQ列出方程，解方程求得t值即可；（3）设运动时间为t，表示出CP、AQ，再根据S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△ABQ-S△BPC列式整理即可得解．【详解】解：（1）填空：点A的坐标为 (8,0)，点C的坐标为 (0,4)，点P的坐标为（0，4-t）.（用含t的代数式表示）依题意可知:OP=4-t，OQ=2t，若OP=OQ，则有：4-t=2t解之得,t=.∴当t=时,点P和点Q到原点的距离相等四边形OPBQ的面积不变.理由如下:∴四边形OPBQ的面积不变点睛：本题考查了坐标与图形性质，主要利用了矩形的对边相等的性质，三角形的面积，用规则图形的面积表示出不规则的四边形OPBQ的面积是解题的关键．24．(1)①0，-1；②-1，1；(2)x＝1时，2(x﹣1)2﹣1取得最小值﹣1.【分析】(1)①②根据材料二得出的规律，可直接得出答案；(2)先把代数式2x2﹣4x+1变形为2(x﹣1)2﹣1，再根据2(x﹣1)2≥0，得出2(x﹣1)2﹣1≥﹣1，即可求出代数式取得最小值时的x的值.【详解】(1)根据题意得：①当x＝0时，代数式2x2﹣1有最小值为﹣1；②当x＝﹣1时，代数式﹣2(x+1)2+1有最大值为1；故答案为：0，﹣1；﹣1，1.(2)∵2x2﹣4 x+1＝2(x2﹣2x)+1＝2(x2﹣2x+1﹣1)+1＝2(x﹣1)2﹣1，2(x﹣1)2≥0，∴2(x﹣1)2﹣1≥﹣1，即2(x﹣1)2﹣1有最小值﹣1，当x＝1时，2(x﹣1)2﹣1取得最小值﹣1.【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF＋BE，∴DE＝4＋DF，在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，∴（12 4）2＋（12 DF）2＝（4＋DF）2，∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK 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