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2021-2022学年华东师大新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．方程x2+5x＝0的解为（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣53．如图，已知⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AB＝4，AD＝4，则∠BCD的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．135°4．如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．在平面直角坐标系中，已知点A（6，2）关于原点O的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．126．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平．小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（）A． B． C． D．7．某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48C．36（1﹣x）2＝48﹣36 D．48（1﹣x）2＝368．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE：EC＝5：3，BF＝10，则CF的长为（）A．16 B．8 C．4 D．69．如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣，﹣1） B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣）或（﹣2，0） D．（﹣，﹣1）或（﹣2，0）10．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5 B．m＝4b+8 C．m＝6b+15 D．m＝﹣b2+4二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是．12．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝8，半径是5，则BE的长是 ．13．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝°．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 cm2．15．如图，直线AB过原点分别交反比例函数y＝于A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）当k取何值时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根？并求出此时方程的根．17．（9分）在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：在一定时间段内电流可正常通过的状态即“通电”状态；在一定时间段内电流无法通过的状态即“断开”状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，请完成下面问题：（1）在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；（2）用树状图或表格计算在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率．18．（9分）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B'C′D′的顶点A′、B′两点的坐标．19．（9分）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC，OD．（1）如图1，求证：OC＝OD；（2）如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；（3）如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，OD交⊙O于点F，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，连接BG，若BG＝3，DF＝2，求AB的长．20．（9分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．21．（10分）阅读：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+＝6有两个解，分别为x1＝，x2＝．（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝，x2＝；（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．23．（11分）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．解：∵x2+5x＝0，∴x（x+5）＝0，∴x＝0或x＝﹣5，故选：D．3．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，如图，∴AE＝AB＝2，AF＝AD＝2，在Rt△AOE中，∵cos∠OAE＝＝＝，∴∠OAE＝30°，在Rt△AOF中，∵cos∠OAF＝＝＝，∴∠OAF＝45°，∴∠EAF＝30°+45°＝75°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣75°＝105°．故选：A．4．解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°，故选：A．5．解：∵点A（6，2）与点A′关于原点对称，∴A′（﹣6，﹣2），∵点A′在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣6×（﹣2）＝12，故选：D．6．解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，∴小明获胜的概率P＝＝；故选：B．7．解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：B．8．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴＝，∵AE：EC＝5：3，BF＝10，∴＝，解得：CF＝6，故选：D．9．解：∵A（，1），B（1，），∴tanα＝＝，∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°，∴∠AOB＝90°﹣30°﹣30°＝30°，根据勾股定理，OA＝＝2，OB＝＝2，①如图1，顺时针旋转时，∵150°+30°＝180°，∴点A′、B关于原点O成中心对称，∴点A′（﹣1，﹣）；②如图2，逆时针旋转时，∵150°+30°＝180°，∴点A′在x轴负半轴上，∴点A′的坐标是（﹣2，0）．综上所述，点A′的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）．故选：C．10．解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1 x2＝6，而x2﹣x1＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2+，∵x1+x2＝﹣2b，∴b＝﹣；函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0，整理得m2＝4，解得m＝±2．故答案为2或﹣2．12．解：∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵半径是5，∴AE＝10，∴BE＝＝＝6，故答案为：6．13．解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，∴AB＝AE，∠B＝70°，∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠FAG＝∠BAE＝40°．∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，∴△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．故答案为：65．14．解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，在Rt△BCE中，∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，∴EC＝＝1cm，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠BEC＝60°，∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，＝2﹣×1×﹣ π 22，＝（﹣π）cm2．故答案为：（﹣π）．15．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|＝×6＝3，则△ABC的面积为6，故答案为6．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：∵关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×4（k﹣1）＝k2﹣12k+20＝（k﹣2）（k﹣10）＝0，解得：k1＝2，k2＝10．当k＝2时，原方程为4x2﹣4x+1＝0，解得：x1＝x2＝；当k＝10时，原方程为4x2﹣12x+9＝0，解得：x1＝x2＝．17．解：（1）画树状图如下：共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，∴A、B之间电流能够正常通过的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有4种等可能的结果，在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的结果有3种，∴在一定时间段内C、D之间电流能够正常通过的概率为．18．解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ODC+∠EDA＝90°．∵∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠EDA＝∠OCD，在△AED和△DOC中，∴△AED≌△DOC（AAS），∴OD＝EA＝5，∴点D的纵坐标为5；（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，设OD′＝a，OC′＝b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）．19．（1）证明：连接OA，OB，如图，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAO＝90°﹣∠OAB，∠OBC＝90°﹣∠OBA，∴∠OAD＝∠OBC．在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC（SAS）．∴OD＝OC．（2）过点O作OM⊥CD于点M，如图，∵OC＝OD，OM⊥CD，∴∠DOM＝∠COM＝∠COD．∵OM⊥CD，AD⊥CD，∴OM∥AD．∴∠DOM＝∠ADO＝∠COD．∵DE∥OC，∴∠ODE＝∠COD．∴∠ADO＝∠ODE．即DA平分∠EDO；（3）解：连接OB，OG，AG，OE，EF，设EF与AD交于点H，如图，∵DE是圆的切线，∴OE⊥DE．∵OC∥DE，∴OE⊥OC．∴∠EOF+∠DOC＝90°．∴∠EOF+∠COD＝45°．∵∠FED为弦切角，∴∠FED＝∠EOF．由（2）得：DA平分∠EDO，∠EDO＝∠COD，∴∠EDA＝∠COD．∵∠AHE＝∠FED+∠ADE，∴∠AHE＝∠EOD+∠COD＝45°．∵弧FG＝弧AE，∴AG∥EF．∴∠GAD＝∠AHE＝45°．∵∠BAD＝90°，∴∠BAG＝90°﹣∠GAD＝45°．∵∠BAG＝∠BOG，∴∠BOG＝90°．∵OB＝OG，GB＝3，∴．∴OB＝OG＝3．即圆的半径为3．∴OE＝OF＝3．∴OD＝OF+FD＝3+2＝5．∴DE＝＝4．过点D作DN⊥CO于点N，则四边形EOND为矩形．∴DN＝OE＝3，ON＝DE＝4．∵OC＝OD＝5，∴CN＝OC﹣ON＝5﹣4＝1．在Rt△CDN中，CD＝＝．∴AB＝CD＝．20．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45，当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10，答：AD的长为10m；（2）设AD＝xm．∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，∵a＝40，∴x＝40时，S的最大值为：﹣（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m ）．答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．21．解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6，∴方程x+＝6的两个解分别为x1＝2，x2＝4．故答案为：x1＝2，x2＝4．（2）方程变形得：x+＝+2，由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，则x1＝，x2＝2；故答案为：；2（3）方程整理得：2x﹣1+＝n+n﹣1，得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n，可得x1＝，x2＝，则原式＝．22．解：（1）如图1所示；（2）如图2，连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2α，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴；（3），证明：如备用图，连接AE，CF，由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，∴∠BCF＝90°﹣α，∵∠CBF+∠BCF＝90°，∴△BCF是直角三角形．∵△ACE是等边三角形，∴α＝30°．∴∠CBF＝30°∴．23．解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴对称轴是：x＝﹣＝﹣1，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AM⊥BC于M，当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，∵S△ABC＝AB OC＝BC AM，∴＝×AM，∴AM＝，由勾股定理得：CM＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝2；（3）如图2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，设F（m，﹣3m+3），∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴F（，﹣），∴CF＝＝．

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