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2024年第二次中招模拟考试试卷九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1. 的相反数是（）A. 2024 B. C. D.2. 河南博物院是国家文物局公布第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（）A. 人 B. 人 C. 人 D. 人3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A. B. C. D.4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至 2022年，世界上共有65 位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：年龄/岁 27 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45人数 1 3 5 4 4 4 6 5 9 9 7 7 1则该组由年龄组成的数据的众数是（）A 9 B. 37 C. 45 D. 37，385. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（）A. 发 B. 现 C. 之 D. 美6. 计算结果是（）A. B. C. D.7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）A. B. C. D.8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（）A. B. C. D.9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（）A. B. C. D.10. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10二、填空题（每小题3分，共15分）11. 因式分解：=_______．12. 如图，中，，相交于点，若，，则的周长为 __．13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________．14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．15. 如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为____________．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. （1）计算（2）解不等式组：17. 下面是小明同学设计“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（填推理的依据）．即PQ⊥l．18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分）甲款汽车 82 90 100乙款汽车 80 100 90两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：a．网友评价得分（满分10分）：甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9b．网友评价得分统计表：平均数 中位数 方差甲款汽车 7 m乙款汽车 7 7根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 m =；（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车 请说明理由．19. 观察以下等式：第1个等式：第个等式：第3个等式：第个等式：第5个等式：······按照以上规律．解决下列问题：写出第个等式____________；写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明．20. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．（1）甲种水果每千克的销售价为元；（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；（2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；（3）如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ．23. 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．（1）【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是；（2）【探究证明】如图2，当点 P是线段上的任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；（3）【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．2024年第二次中招模拟考试试卷九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1. 的相反数是（）A. 2024 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义，即可求解，本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．【详解】解：的相反数是2024，故选：．2. 河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（）A. 人 B. 人 C. 人 D. 人【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．【详解】解：∵万，故选：B．3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至 2022年，世界上共有65 位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：年龄/岁 27 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45人数 1 3 5 4 4 4 6 5 9 9 7 7 1则该组由年龄组成的数据的众数是（）A. 9 B. 37 C. 45 D. 37，38【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据．根据众数的定义即可得解．【详解】由表格可知：这一组数据中37，38出现的次数最多，因此该组由年龄组成的数据的众数是37，38．故选：D5. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（）A. 发 B. 现 C. 之 D. 美【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形或“”字的首尾端即为相对面，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“数”与“美”是相对面，故选：D．6. 计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据乘法定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键．【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，故的结果是，故选A．7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴k﹤0，A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为．【详解】解：∵，∴，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，在和中，∴≌∴，∴．故选：D．9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．【详解】解：∵点,∴,过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大，∴四边形是矩形，∴，∴，∴点 D 到弦的距离最大为，∴点D坐标为，故选A．．10. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，∴四边形是矩形，∴，∵，，，∴，，∴，，∴，故选B．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 因式分解：=_______．【答案】(a+1)(a-1)【解析】【分析】直接应用平方差公式即可求解．【详解】．故答案为：(a+1)(a-1)12. 如图，中，，相交于点，若，，则的周长为 __．【答案】8【解析】【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，的周长．故答案为：8．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形周长的定义，结合图形求出三角形的三边之和．灵活应用平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解决本题的关键．13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________．【答案】【解析】【分析】利用画树状图法解答即可．本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．【详解】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示，根据题意，画树状图如下：由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的的有9种，∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是．14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．【答案】2【解析】【分析】设，结合点 F 是边的中点，得，得到，，结合点 B，E 在反比例函数()的图象上，建立等式计算即可．本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】设，∵点 F 是边的中点，∴，∵矩形和正方形，，∴，轴，，，轴，∴，，∵点 B，E 在反比例函数()的图象上，∴，解得(舍去)，∴，故答案为：2．15. 如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为____________．【答案】##【解析】【分析】连接，交于点D，求得，利用求得圆心角，利用三角函数，解答即可．本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的关键．【详解】连接，交于点D，∵沿折叠得到．∴，，∵ 与所在的圆相切于点 B，∴，∴，∵∴，∵半径的长为，∴，解得，∴，∴，∵，∴，故答案为：．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. （1）计算（2）解不等式组：【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，正确求解是解答的关键．（1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂、立方根，再加减运算即可；（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：（1）；（2）不等式组，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．17. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（填推理的依据）．即PQ⊥l．【答案】（1）见解析；（2）四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用菱形的判定和性质判断即可．【详解】（1）如图所示．（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．即PQ⊥l．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分）甲款汽车 82 90 100乙款汽车 80 100 90两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：a．网友评价得分（满分10分）：甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9b．网友评价得分统计表：平均数 中位数 方差甲款汽车 7 m乙款汽车 7 7根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 m =；（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车 请说明理由．【答案】（1）（2）87分（3）乙车，见解析【解析】【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键．（1）根据中位数的定义，得，计算即可．（2）根据加权平均数的计算方法求解即可．（3）从中位数，方差等，比较即可解答．【小问1详解】解：根据题意，得数据排序如下：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10，中位数是第5个数据，第6个数据的平均数即，故答案为：．【小问2详解】解：乙车的平均数是：（分）．【小问3详解】解：∵乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考，∴我推荐乙车．19. 观察以下等式：第1个等式：第个等式：第3个等式：第个等式：第5个等式：······按照以上规律．解决下列问题：写出第个等式____________；写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；（2），证明：∵左边==右边，∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．20. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．【答案】17米【解析】【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题．【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H．由题意得：，，，∵，∴ ，∴，∴，∴，答：旗杆的高度为17米．【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．（1）甲种水果每千克的销售价为元；（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．【答案】（1）20（2）当时，；当时，；（3）900【解析】【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元；（2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．（3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可．本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．c【小问1详解】根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，故单价为元；故答案为：20．【小问2详解】当时，是正比例函数，设解析式为，把点代入解析式，得，解得，故解析式为；当时，是一次函数，设解析式为，把点，代入解析式，得，解得，故解析式为．【小问3详解】根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额2400元，故单价为元；故甲的解析式为．由两种水果销售额相同，且销售额大于0，得，解得，∴甲水果销售额为；乙水果销售额为∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为∴两种水果的总利润为(元)．22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；（2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；（3）如图，点 N为抛物线L顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ．【答案】（1）抛物线经过点（2）4（3）【解析】【分析】（1）根据抛物线，得到，解得，于是可以添加条件抛物线经过点；（2）根据，得到将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，确定其顶点坐标为，计算原点的对称坐标为，结合抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，代入解析式计算即可；（3）根据，可以确定抛物线的顶点，结合抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为，则解析式为，当时，，确定点，表示出面积，构造二次函数求最值即可．【小问1详解】根据抛物线，∴，解得，∴可以添加条件抛物线经过点；故答案为：抛物线经过点．【小问2详解】∵抛物线L：，∴将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，∴其顶点坐标为，∴其关于原点的对称坐标为，∵抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，代入解析式得：，解得．【小问3详解】∵，∴抛物线的顶点，∵新抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为，∴解析式为，当时，，∴点，∴，∴,故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的平移，原点对称，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键．23. 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．（1）【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是；（2）【探究证明】如图2，当点 P是线段上任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；（3）【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．【答案】（1）（2），理由见解析（3）或【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）利用证明即可解题；（2）过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（1）可得，然后证明为矩形，得到，推导出即可得到结论；（3）过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（2）可得，然后利用解直角三角形得到，然后分和两种情况解题即可．【小问1详解】解：∵，，∴，又∵是的中点，∴，又∵，∴，∴；【小问2详解】解：，理由为：如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（1）得，又∵，，，∴，∴为矩形，∴，，∴，∴，∴；【小问3详解】如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（1）得，又∵，，，∴，∴为矩形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，①当时，；②当是，过点P作于点Q，∴，∴；综上所述长为或．

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