本篇因为是考试后写的，虽然保不准也算下一次考试前，创作初衷也就今天突然想总结一下之前一直在用的公式，周期可能也就这两天，但参考了一些别人的博文或者帖子，觉得还是与自己想的侧重点有点不太一样，所以就有了上面这张思维导图的大纲，如果不太完整的地方，后期我会去尽量完善，本篇公式有些图是我自己做的，有些是参考文献中引用的几篇知乎帖子，考虑到公式美观性，与参考文献也没有对公式加上水印，所以本篇大部分图片都去除了，希望能作为以后的备用资料。

两个重要极限：lim⁡x→0sin⁡x x= 1lim⁡x→∞(1+1x) x= e \begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\ \\ &\lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=\mathrm{e}\\ \end{aligned}​x→0lim​xsinx​=1x→∞lim​(1+x1​)x=e​

lim⁡x→af(x)g(x)={l≠0 且 ≠1,f(x) 与 g(x) 同阶而不等价, 1,f(x) 与 g(x) 等价 0,f(x) 比 g(x) 高阶 ∞,f(x) 比 g(x) 低阶 \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases}l \neq 0 \text { 且 } \neq 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 同阶而不等价, } \\ 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 等价 } \\ 0, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 高阶 } \\ \infty, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 低阶 }\end{cases}x→alim​g(x)f(x)​=⎩⎨⎧​l=0 且 =1,1,0,∞,​f(x) 与 g(x) 同阶而不等价, f(x) 与 g(x) 等价 f(x) 比 g(x) 高阶 f(x) 比 g(x) 低阶 ​

常用等价无穷小：

反函数求导公式： φ ′( x ) = dxdy=1f′(x)φ′′( x ) = d2xdy2= − f′ ′ (x)f′ 3 (x)\begin{aligned} &\varphi ^{\prime}(x)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{\prime}(x)}\\ \\ &\varphi ^{\prime\prime}(x)=\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime3}(x)}\\ \end{aligned}​φ′(x)=dydx​=f′(x)1​φ′′(x)=dy2d2x​=−f′3(x)f′′(x)​​

参数方程求导公式：

设y=y(x)y=y(x)y=y(x)是由{x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right.{x=φ(t)y=ψ(t)​所组成的参数方程，则一阶求导为：

dydx= dydtdxdt= ψ′(t)φ′(t)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi ^{\prime}(t)}{\varphi ^{\prime}(t)}dxdy​=dtdx​dtdy​​=φ′(t)ψ′(t)​

二阶求导为： d2ydx2= d( d y d x)dx= dd t ( d y d x)dx/dt= [ψ ( t ) φ ( t ) ]φ′(t)= ψ′ ′ (t)φ′(t)−ψ′(t)φ′ ′ (t)φ′ 3 (t)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx/dt}=\frac{\left[ \frac{\psi (t)}{\varphi (t)} \right]}{\varphi ^{\prime}(t)}=\frac{\psi ^{\prime\prime}(t)\varphi ^{\prime}(t)-\psi ^{\prime}(t)\varphi ^{\prime\prime}(t)}{\varphi ^{\prime3}(t)}dx2d2y​=dxd(dxdy​)​=dx/dtdtd​(dxdy​)​=φ′(t)[φ(t)ψ(t)​]​=φ′3(t)ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)​

常用曲率计算公式：

定义：

设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)内可导，又f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则∃ξ∈( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right)∃ξ∈(a,b)使得f ′ ( ξ ) =0f^{\prime}\left( \xi \right) =0f′(ξ)=0

图形：

定义：

设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)内可导，则∃ξ∈( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right)∃ξ∈(a,b)使得f( b ) −f( a ) =f ′ ( ξ ) ( b − a ) f\left( b \right) -f\left( a \right) =f^{\prime}\left( \xi \right) \left( b-a \right)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

图形：

等价形式： f ( b ) − f ( a ) =f ′( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) , 0 < θ < 1 f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a), 0