资源简介

2024上海春考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.的定义域_______.2.直线 的倾斜角_______.3.已知,则_______.4. 展开式中 的系数为______.5.三角形ABC中，,则6.已知的最小值为_______.7.数列的取值范围为_______.8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.9.已知,求的的取值范围_______.10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______.11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到0.01)12.,任意,满足,求有序数列有_____对.二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13.,下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）A.事件与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立C.事件与事件BUC互斥D.事件与事件相互独立16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数.现有,当时,与均为延展函数,则以下结论( )(1)存在与有无穷个交点(2)存在与有无穷个交点A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立.三、解答题（本大题共5题，共分）17.已知(1)设,求解:的值域;(2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.18.如图,、、为圆锥三条母线,.(1)证明:；(2)若圆锥侧面积为为底面直径,,求二面角的大小.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点。(1)若点的横坐标为2,求的长;(2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围(3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.21.记(1)若,求和;(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.2024上海春考数学试卷解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.的定义域_______.【考点】函数定义域【答案】2.直线 的倾斜角_______.【考点】直线的倾斜角【答案】【解析】3.已知,则_______.【考点】夏数【答案】4. 展开式中 的系数为______.【考点】二项式展开【答案】15【解析】5.三角形ABC中，,则【考点】解三角形【答案】【解析】在三角形中由正弦定理,解得6.已知的最小值为_______.【考点】基本不等式【答案】12【解析】由当且仅当,即或时取最小值12.7.数列的取值范围为_______.【考点】等差数列【答案】【解析】由,知数列为等差数列..故的取值范围为.8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.【考点】双曲线的定义、离心率【答案】3【解析】由双曲线的定义,9.已知,求的的取值范围_______.【考点】分段函数运算【答案】【解析】根据题意知所以当时,,解得同理当时,,解得综上所述:10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______.【考点】立体几何线线角【答案】【解析】11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到0.01)【考点】解析几何、数学建模【答案】2.73【解析】以为原点建系,易知,不妨设中点为直线EF中垂线所在直线方程为,化简得所以圆心为,半径为,且经过点即化简得12.,任意,满足,求有序数列有_____对.【考点】数列【答案】48【解析】以题易知,满足,不妨设由单调性则必有(1),解得(2),解得所以2种.综上共有对二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13.,下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.【考点】不等式的性质【答案】B【解析】对于,若,则,选项不成立,故A错误;对于C、D,若,则选项不成立,故C、D错误;故答案选B.14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【考点】立体儿何【答案】A【解析】对于,若,则或,又,所以,故A正确;对于,若,则或,由,则与斜交、垂直、平行均有可能,故B错误;对于,若,则或,由,则与相交、平行、异面均有可能,故错误;对于,若,则或,又,则或,故错误.故答案选A.15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）A.事件与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立C.事件与事件BUC互斥D.事件与事件相互独立【考点】事件的关系【答案】B【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生,即第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,所以A与B互斥,故A错误;对于,符合,B正确;对于,事件与事件可以同时发生,所以错误;对于,而,所以与不独立,故错误。故答案选.16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数.现有,当时,与均为延展函数,则以下结论( )(1)存在与有无穷个交点(2)存在与有无穷个交点A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立.【考点】图像与导数【答案】D【解析】根据题目所给条件,画出与图像即可,因为,所以(1)错;当!时,存在使得直线可以与在区间的函数部分重合,因而有无穷个交点,所以(2)正确,故选D三、解答题（本大题共5题，共分）17.已知(1)设,求解:的值域;(2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.【考点】三角函数周期与零点【答案】(1);(2)【解析】(1).因为,所以令所以在上単调递增,在上单调递减所以,因此(2)由题知,所以.当时,,即.当时,,所以,即.因此,.18.如图,、、为圆锥三条母线,.(1)证明:；(2)若圆锥侧面积为为底面直径,,求二面角的大小.【考点】圆锥体中的线面关系【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】(1)取中点,连接、,因为,所以,又因为面面,所以面,因为面,所以.(2)如图建立空间直角坐标系因为圆锥侧面积为为底面直径,,所以底面半径为1,母线长为,所以,则可得,故,设为面的法向量,则,令,则,所以.设为面的法向量,则,令,则,所以.则,设二面角为,所以二面角的大小为.19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.【考点】概率、统计【答案】(1); (2)一级果抽取6箱,二级果抽取2箱；（3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69【解析】(1)古典概型:设事件为恰好选到一级果和二级果各一箱,.(2)一级果箱数:二级果箱数,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.(3)设一级果平均质量为,二级果质量为,总体样本平均质量为平均值:方差:预估:平均质量20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点。(1)若点的横坐标为2,求的长;(2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围(3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】解析几何【答案】(1) (2)(3)【解析】(1)设,因为点为椭圆上一点,则,得。又,所以(2)设,则因为,即,即,又,所以,得所以,所以的范围是(3)设,由图像对称性,得、关于轴对称,所以,又,所以,所以;同理因为,所以所以,或(无解)设直线,与椭圆联立得,则得,得,由,得，所以21.记(1)若,求和;(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.【考点】导数【答案】见解析【解析】(1)由题意得:；(2)证明:由題意知，记,有或20 2正 0 负 0 正极大值 极小值现对分类讨论:(1)当,有为严格增函数,因为,所以此时符合条件;(2)当时,先增后减,因为(取等号,所以,则此时也符合条件；(3)当时,,在严格增,在严格减,在严格增,,因为,当时,,则则此时成立;综上可知,对于任意,都有,且存在,使得.(3)证明:(1)必要性:若为偶函数,则当,因为故;(2)充分性：若对于任意正实数，均有,其中因为有最小值，不妨设,由于任意，令则最小元素为中最小元素为又对任意成立若,则对任意成立是偶函数若此后取综上,任意,即是偶函数【参考证法2】(3)证明:记则是在上的值域,是在上的值域。(1)必要性若是偶函数,则,从而是偶函数,显然在与的值域相同,即;(2)充分性设,不妨设,则在上的最小值为当,则也在内,所以在上的最小值为,因为,所以;当,则,时,,其中,即在的最小值为,故因为即,且,所以,则有从而,故所以对任意正实数成立,是偶函数;综上,“是偶函数”的充要条件是“对任意正实数,都有,证毕。

展开