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专题23简单的三角恒等变换(新高考专用)
目录
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【真题自测】2
【考点突破】7
【考点1】三角函数式的化简7
【考点2】三角函数求值问题11
【考点3】三角恒等变换的应用14
【分层检测】19
【基础篇】19
【能力篇】26
【培优篇】30
真题自测
真题自测
一、单选题
1.(2023·全国·高考真题)已知,则(????).
A.B.C.D.
2.(2023·全国·高考真题)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则(????)
A.1B.C.D.
3.(2021·全国·高考真题)若,则(????)
A.B.C.D.
二、解答题
4.(2023·北京·高考真题)设函数.
(1)若,求的值.
(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
条件①:;
条件②:;
条件③:在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
5.(2021·浙江·高考真题)设函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在上的最大值.
参考答案:
1.B
【分析】根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出,再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为,而,因此,
则,
所以.
故选:B
【点睛】方法点睛:三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
2.B
【分析】方法一:根据切线的性质求切线长,结合倍角公式运算求解;方法二:根据切线的性质求切线长,结合余弦定理运算求解;方法三:根据切线结合点到直线的距离公式可得,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一:因为,即,可得圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为,
因为,则,
可得,
则,
,
即为钝角,
所以;
法二:圆的圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为,连接,
可得,则,
因为
且,则,
即,解得,
即为钝角,则,
且为锐角,所以;
方法三:圆的圆心,半径,
若切线斜率不存在,则切线方程为,则圆心到切点的距离,不合题意;
若切线斜率存在,设切线方程为,即,
则,整理得,且
设两切线斜率分别为,则,
可得,
所以,即,可得,
则,
且,则,解得.
故选:B.
????
3.C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入即可得到结果.
【详解】将式子进行齐次化处理得:
.
故选:C.
【点睛】易错点睛:本题如果利用,求出的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论.
4.(1).
(2)条件①不能使函数存在;条件②或条件③可解得,.
【分析】(1)把代入的解析式求出,再由即可求出的值;
(2)若选条件①不合题意;若选条件②,先把的解析式化简,根据在上的单调性及函数的最值可求出,从而求出的值;把的值代入的解析式,由和即可求出的值;若选条件③:由的单调性可知在处取得最小值,则与条件②所给的条件一样,解法与条件②相同.
【详解】(1)因为
所以,
因为,所以.
(2)因为,
所以,所以的最大值为,最小值为.
若选条件①:因为的最大值为,最小值为,所以无解,故条件①不能使函数存在;
若选条件②:因为在上单调递增,且,
所以,所以,,
所以,
又因为,所以,
所以,
所以,因为,所以.
所以,;
若选条件③:因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得最小值,即.
以下与条件②相同.
5.(1);(2).
【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可得,再由三角函数最小正周期公式即可得解;
(2)由三角恒等变换可得,再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】(1)由辅助角公式得,
则,
所以该函数的最小正周期;
(2)由题意,
,
由可得,
所以当即时,函数取最大值.
考点突破
考点突破
【考点1】三角函数式的化简
一、单选题
1.(2024·河北承德·二模)函数的图象的对称轴方程为(????)
A.B.
C.D.
2.(2024·江西景德镇·三模)函数在内恰有两个对称中心,,将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若,则(????)
A.B.C.D.
二、多选题
3.(2