(1)首先求得导函数的解析式,然后分类讨论确定函数的单调性即可;
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得:,
当时,若,则单调递减,
若,则单调递增;
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增;
(2)若选择条件①:
由于,故,则,
而,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
若选择条件②:
由于,故,则,
当时,,,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
当时,构造函数,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
注意到,故恒成立,从而有:,此时:
,
当时,,
取,则,
即:,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.