1997考研数学一真题及答案详解

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

(1)               .

(2) 设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为          .

(3) 对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为          .

(4) 设,为三阶非零矩阵,且,则 =          .

(5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是          .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 二元函数在点处                  (   )

(A) 连续,偏导数存在                   (B) 连续,偏导数不存在

(C) 不连续,偏导数存在                 (D) 不连续,偏导数不存在

(2) 设在区间上令,

,则                                          (   )

(A)                        (B)

(C)                        (D)

(3) 则                                      (   )

(A) 为正常数        (B) 为负常数      (C) 恒为零          (D) 不为常数

(4) 设则三条直线,,

(其中)交于一点的充要条件是        (   )

(A) 线性相关

(B) 线性无关

(C) 秩秩

(D) 线性相关,线性无关

(5) 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是

                                                                          (   )

(A) 8             (B) 16               (C) 28             (D) 44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)

(1) 计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.

(2) 计算曲线积分,其中是曲线从 轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的.

(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为,在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求.

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)

(1) 设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值.

(2) 设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求.

五、(本题满分6分)

设连续,且(为常数),求并讨论在处的连续性.

六、(本题满分8分)

设证明：

(1) 存在；

(2) 级数收敛.

七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)

(1) 设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.

(2) 已知是矩阵的一个特征向量.

(Ⅰ) 试确定参数及特征向量所对应的特征值；

(Ⅱ) 问能否相似于对角阵？说明理由.

八、(本题满分5分)

设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.

(1) 证明可逆；

(2) 求.

九、(本题满分7分)

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.

十、(本题满分5分)

设总体的概率密度为

其中是未知参数.是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

(1)【答案】

【分析】这是型极限.注意两个特殊极限.

【解析】将原式的分子、分母同除以,得

评注：使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为,而本题中,

极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.

【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.

(2)【答案】

【解析】考察这两个幂级数的关系.令,则

.

由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,的收敛半径为3

的收敛半径为3.从而的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,即.

评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.

    对于,若它的收敛半径是.但是若只知它的收敛半径为,则,因为可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).

(3)【答案】

【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率,而可由的参数方程

求得：      ,

所以切线的方程为,即.

评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.

(4)【答案】

【解析】由,对按列分块,设,则

,

即是齐次方程组的解.

又因,故有非零解,那么

,

由此可得.

评注：若熟悉公式,则,可知,亦可求出.

(5)【答案】

【解析】方法1：利用全概率公式.

求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.

设事件“第个人取得黄球”,,则完全事件组为(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知

；；

(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成,球的总数变成,第二个人取得黄球的概率就为)；

 (第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为).

故应用全概率公式

.

方法二：利用“抽签原理”.

   只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为.

【