一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设,则___________.
(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为
___________.
(3) 微分方程的通解为___________.
(4) 函数在点处沿点指向点方向的方向导数为___________.
(5) 设是矩阵,且的秩,而,则___________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 已知为某函数的全微分,则等于 ( )
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
(2) 设有二阶连续导数,且,,则 ( )
(A) 是的极大值
(B) 是的极小值
(C) 是曲线的拐点
(D) 不是的极值,也不是曲线的拐点
(3) 设,且收敛,常数,则级数
( )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关
(4) 设有连续的导数,,,,且当
时,与是同阶无穷小,则等于 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(5) 四阶行列式的值等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 求心形线的全长,其中是常数.
(2) 设,,试证数列极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1) 计算曲面积分,其中为有向曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角.
(2) 设变换可把方程化简为,求常数,其中有二阶连续的偏导数.
五、(本题满分7分)
求级数的和.
六、(本题满分7分)
设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于
,求的一般表达式.
七、(本题满分8分)
设在上具有二阶导数,且满足条件,,其中都是非负常数,是(0,1)内任一点,证明.
八、(本题满分6分)
设,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是的转置,证明:
(1) 的充要条件是;(2) 当时,是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
已知二次型的秩为2.
(1) 求参数及此二次型对应矩阵的特征值;
(2) 指出方程表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1) 设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是__________.
(2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量
的数学期望__________.
十一、(本题满分6分.)
设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,
=1,2,3,又设,.
(1) 写出二维随机变量的分布律:
1
2
3
1
2
3
(2) 求随机变量的数学期望.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】这是型未定式求极限.
方法一: ,
令,则当时,,
则 ,
即 .
由题设有,得.
方法二:,
由题设有,得.
(2)【答案】
【解析】方法一:所求平面过原点与,其法向量;平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直:;
由此, .
取,则所求的平面方程为.
方法二:所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向量,另一是平面的法向量)平行的平面,
即 ,即 .
(3)【答案】
【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为
,解之得.故对应齐次微分方程的解为.
由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入
得(也不难直接看出),故所求通解为
.
【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构:设是二阶线性非齐次方程
的一个特解.是与之对应的齐次方程
的通解,则是非齐次方程的通解.
② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解:即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根;
分三种情况:
(1) 两个不相等的实数根,则通解为
(2) 两个相等的实数根,则通解为
(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.
③ 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下:
如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为
,
其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.
(4)【答案】
【分析】先求方向的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式
求出方向导数.
【解析】因为与同向,为求的方向余弦,将单位化,即得 .
将函数分别对求偏导数得
,
,
,
所以
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