一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) _____________.
(2) 曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3) 设,则在点处的值为_____________.
(4) 设区域为,则_____________.
(5) 已知,设,其中是的转置,则_________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设,,,
则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 ( )
(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
(3) 设常数,且级数收敛,则级数 ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛
(C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关
(4) ,其中,则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 已知向量组线性无关,则向量组 ( )
(A) 、、、线性无关
(B) 、、、线性无关
(C) 、、、线性无关
(D) 、、、线性无关
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)
(1) 设 求、在的值.
(2) 将函数展开成的幂级数.
(3) 求.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分,其中是由曲面及两平面
所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设具有二阶连续导数,,且
为一全微分方程,求及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数
绝对收敛.
七、(本题满分6分)
已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成的旋转曲面为.求由及两平面所围成的立体体积.
八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组为 又已知某线性齐次方程组的通解为
.
(1) 求线性方程组的基础解系；
(2) 问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设为阶非零方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时,证明
.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1) 已知、两个事件满足条件,且,则__________.
(2) 设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,且的分布律为
则随机变量的分布律为_______.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和
,与的相关系数,设,
(1) 求的数学期望和方差；
(2) 求与的相关系数；
(3) 问与是否相互独立？为什么？
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】原式变形后为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
原式
. (由重要极限)
(2)【答案】
【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量,取,又平面过已知点.
已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面：
.
因点在曲面上.曲面方程.
曲面在该点的法向量
,
故切平面方程为 , 即 .
(3)【答案】
【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求,再求.
,
.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数存在,且有
；
.
(4)【答案】
【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：
原式.
注意： ,
则 原式.
(5)【答案】
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 是一个数,
而 ,(是一个三阶矩阵)
于是,
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故,且
由定积分的性质,如果在区间上,被积函数,则.
所以 &nb