一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1) 设 则=__________.
(2) 由方程所确定的函数在点处的全微分=__________.
(3) 已知两条直线的方程是;,则过且平行于的平面方程是__________.
(4) 已知当时,与是等价无穷小,则常数=__________.
(5) 设4阶方阵,则的逆阵=__________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1) 曲线 ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2) 若连续函数满足关系式,则等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 已知级数,,则级数等于 ( )
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是在第一象限的部分,则等于 ( )
(A) (B)
(C) (D) 0
(5) 设阶方阵、、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求.
(2) 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数
在点处沿方向的方向导数.
(3) ,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.
四、(本题满分6分)
在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.
五、(本题满分8分.)
将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
的和.
六、(本题满分7分.)
设函数在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.
七、(本题满分8分.)
已知,,,,及
.
(1) 、为何值时,不能表示成的线性组合?
(2) 、为何值时,有的唯一的线性表示式?并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则
=_______.
(2) 随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______.
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量的概率密度为
,
求随机变量的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果 , 则 .
所以 ,
再对求导,由复合函数求导法则得
.
(2)【答案】
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.
将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
,
再由全微分四则运算法则得
,
令,得,即.
(3)【答案】
【解析】所求平面过直线,因而过上的点;
因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程
,
即.
(4)【答案】
【解析】因为当时,,
当时,所以有
所以 .
因为当时,与是等价无穷小,所以,故.
(5)【答案】.
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意: ,.
对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:,则求的伴随矩阵
.
如果,这样
.
再利用分块矩阵求逆的法则:,易见
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,
,所以为铅直渐近线,
,所以为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线:如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线;
水平渐近线:当,则为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(B)
【解析】令,则,所以
,
两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解之得,其中是常数.
又因为,代入,得,得
,即.
(3)【答案】(C)
【解析】因为
(收敛级数的结合律与线性性质),
所以 .
而
,
故应选(C).
(4)【答案】(A)
【解析】如图,将区域分为四个子区域.
显然,关于轴对称,关于轴对称.
令 ,
由于对及对都是奇函数,所以
.
而对是偶函数,对是奇函数,故有
,
所以 ,
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
由于、、均为阶矩阵,且,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式
,得到、、,知、、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有 ,故应选(D).
其实,对于先右乘再左乘,有.
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)【解析】这是型未定式求极