纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:一是考查具体集合的关系判断和集合的运算.解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义,弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素.二是考查抽象集合的关系判断以及运算.
一、命题规律集合作为高中数学的预备知识内容,每年高考都将其作为必考题,题目分布在选择题1,2,以集合的运算为主,多与解不等式等交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目,主要基本考生的运算求解能力,学科素养主要考查理性思维和数学探索。
二、考点热度高频考点:集合的概念及表示和集合间的基本运算。
低频考点:集合间的基本关系。
三、重要知识点(一)集合含义问题
1.用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;
2.集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
3.集合的含义:某些指定的对象集 在一起就成为一个总体,这个总体就叫集合,其中每一个对象叫元素。
4.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对 象或者是或者不是这个给定的集合的元素,这叫集合元素的确定性;
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素,这叫集合元素的互异性;
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定 两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,这叫集合元素的无序性.
5.元素与集合之间只能用“ ”或“ ”符号连接.
6.集合的表示常见的方法.
(1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述。如:英才中学的所有团员组成一个集合。
(2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后用一个花括号全部括上。如:
7.常见的特殊集合:(1)非负整数集(即自然数集)N(包括零)(2)正整 数集N*或(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)(4) 有理数集(5)实数集R
8.集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合。(2)无限集:含有无限个元素的集合。(3)空集 :不含任何元素的集合
(二)集合的基本关系
1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
3.某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。
(三)集合的基本运算
1.一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况;
2.运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
3.我们还要分清数集与点集的区别以及数0与{0}的关系。
4.交集:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
5.并集:由属于集合A或者属于集合B的所有元素组成的集合
6.补集:对于全集U,由不属于集合A的所有元素组成的集合
(四)集合的新定义问题
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
四、典型例题解析典型例题分析1:
若集合M={x∈R|(x+2)/(x-1)≤0},N为自然数集,则下列选项正确的是()
A.M{x|x≥1}
B.M{x|x>﹣2}
C.M∩N={0}
D.M∪N=N
解:∵M={x∈R|(x+2)/(x-1)≤0}=[﹣2,1),
N为自然数集,
故M{x|x≥1}错误;
M{x|x>﹣2}错误;
M∩N={0}正确;
M∪N=N错误;
故选:C.
考点分析:
集合的包含关系判断及应用.
题干分析:
解分式不等式求出集合M,进而逐一分析四个答案的正误,可得结论.
典型例题分析2:
若集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x||x|≤1},则A∩B=()
A.{﹣1,0,1}
B.{0,1}
C.{x|﹣1≤x≤1}
D.{x|0≤x≤1}
解:∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1},
∵A={﹣2,﹣1,0,1,2},
∴A∩B={﹣1,0,1},
故选A.
考点分析:
交集及其运算.
题干分析:
根据集合交集的概念求解即可.
典型例题分析3:
集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是()
A.a≥5
B.a≥4
C.a<5
D.a<4
解:由x2﹣5x<0,解得0<x<5,
∴B=(0,5),
∵A∩B=B,∴a≥5.
则a的取值范围是a≥5.
故选:A.
考点分析:
集合的包含关系判断及应用.
题干分析:
由x2﹣5x<0,可得B=(0,5),再利用集合的运算性质即可得出.
典型例题分析4:
集合主要以课程学习情境为主,备考应以常见的选择题目为主训练,难度通常不大,在备考中注意与一元二次不等式,绝对值不等式的解法相结合。在备考时要注意以下两点:
(1)在注重集合定义的基础上,牢固掌握集合的基本概念与运算,加强与其他数学知识的联系,借助数轴和Venn图突出集合的工具性;
(2)适当地加强与函数、不等式的联系,注意小题目的综合化。
在高考中,集合的考查通常以选择题或填空题的形式出现,主要考查对集合概念、关系和运算的理解和应用。因此,在学习过程中,要注重基础知识的掌握,多做练习,提高解题的准确性和速度。希望同学们能够认真学习集合知识,灵活运用,取得好成绩!