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二、函数与导数
(一)以导数面目包装的函数性质的综合应用
有关函数与导数的小题压轴题是新课标全国卷的高频考题,高频题型:①以导数面目包装的函数性质题(单调性、奇偶性、最值等);②用导数法判断函数f(x)的图象或已知函数图象求参数的取值范围;③函数与集合、不等式、数列、平面向量、新定义等知识相交汇.
【命题意图】本题主要考查函数与导数、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等知识,意在考查考生的化归与转化能力、数形结合能力和运算求解能力.
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【攻略秘籍】 破解以导数面目包装的函数性质综合题需过双关:第一关是“还原关”,即先还原出函数的解析式;第二关是“数形关”,即不等式恒成立问题与有解问题多需要数形结合,即可轻松解决.
(二)利用导数研究函数的单调性、极值与最值
利用导数研究函数的单调性、极值与最值是高考的一棵“常青树”, 高频题型:①判断函数f(x)的单调性或求函数f(x)的单调区间;②求函数f(x)的最值或极值;③由函数的单调区间、最值或极值求参数的值.
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【命题意图】本题主要考查函数的极值、利用函数的单调性求参数的取值范围,意在考查分类讨论思想和方程思想,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.
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【攻略秘籍】破解此类题的关键:一是方程思想,即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论,并寻找其导数为零的根,以及在根的左、右两侧导数的符号;二是转化思想,即可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减),则有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在区间D内恒成立,从而把已知函数的单调性问题转化为恒成立问题来解决,这里需注意“=”的情形.
(三)函数、导数与零点相交汇
如稍加留神,便可以发现,函数、导数与函数的零点(方程的根)相交汇的考题在近年的高考中扮演着重要的角色,高频题型:①判断函数的零点(方程的根)的个数问题;②已知函数在给定区间的零点(方程在给定区间的解)的情况,求参数的取值范围或证明不等式成立.
【命题意图】本题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识.
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【攻略秘籍】 破解此类难题要过好三关:第一关,应用关,即利用导数法求函数的单调区间与最值,一般是求导数,在定义域范围内,令导函数大于(小于)零,得其单调递增(减)区间,从而求出函数的单调区间,再由函数的单调性,可求其最值;第二关,转化关,即把判断函数的零点个数问题转化为判断函数最值的符号问题;第三关,构造函数关,即通过构造函数,把比较大小问题转化为判断函数的单调性问题.
(四)函数、导数与不等式相交汇
函数、导数与不等式相交汇的试题是2015年高考题中比较“抢眼”的一种题型.对于只含有一个变量的不等式问题,常通过构造函数,利用函数的单调性和极值来证明,高频题型:①用导数法解决含参不等式恒成立问题;②用导数法解决含参不等式有解问题;③证明不等式.
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【命题意图】 本题主要考查函数的单调性与极值点、不等式恒成立问题、证明不等式等知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.
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三、函数图象与变换
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考点四:函数的零点
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四. 利用函数的单调性
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五. 恒成立问题
(1)利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件
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(2)利用一元二次不等式在区间上恒成立的充要条件
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六、函数求值域
观察法
适用类型:根据函数图像性质能较容易得出值域(最值)的简单函数
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配方法
适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
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判别法
适用类型:分子、分母中含有二次项的函数类型
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反函数法
适用类型:分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其他易反解出自变量的函数类型。
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函数有界性法
适用类型:一般用于三角函数型
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函数单调性法
适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。(原理:同增异减)
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换元法
适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等
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数形结合法
适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型
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不等式法
适用类型:能利用几个重要不等式及推论来求得最值。
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多种方法综合运用
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函数问题中其他的一些解题方法
一. 待定系数法
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二. 分离参数法
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三. 判别式法
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四. 不等式法
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五. 特值法
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六. 确立主元法
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七. 整体换元法
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