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专题10解三角形考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势考点01 正弦余弦定理应用2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。考点02三角形中面积周长应用2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧考点01 正弦余弦定理应用1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（）A． B． C． D．2．(2023年北京卷·)在中，，则 ()A． B． C． D．2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ()A． B． C． D．3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ()()A．表高 B．表高C．表距 D．表距4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．473二 填空题5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________．7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．三 解答题9．(2023年天津卷)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考点02 三角形中面积周长应用1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，．(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积．7．(2022高考北京卷)在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．8．(2022年浙江省高考数学试题·)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．9．(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求面积；(2)若，求b．10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已．(1)证明：；(2)若，求的周长．11．(2021高考北京)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10解三角形考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势考点01 正弦余弦定理应用2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。考点02三角形中面积周长应用2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧考点01 正弦余弦定理应用1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.【详解】因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.2．(2023年北京卷·)在中，，则 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以．故选：B．2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，根据余弦定理：可得 ，即由故．故选：A．3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ()()A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A．4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．二 填空题5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以，解得(负值舍去)．故答案为：．6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________．【答案】(1)． (2)．解析:由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案为；．7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】【解析】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．三 解答题9．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，故．10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6【解析】(1)，，即，又，，，，即，所以，．(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以．方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以．(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．【答案】【解析】(1)由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证．(2)由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，．13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而， 所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得，又因为，所以；(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，进而，所以．16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的【解析】据此可得：，，此时．选择条件②的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的【解析】可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,∴, ，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的【解析】据此可得：，，此时．选择条件②的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的【解析】可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．考点02 三角形中面积周长应用1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.【详解】（1）由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，．(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：，则，，．(2)由三角形面积公式可得，则．5．(2021年新高考全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】解析:(1)因为，则，则，故，，，所以，锐角，则，因此，；(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故．6．(2020年高考课标Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(当且仅当时取等号)，，解得：(当且仅当时取等号)，周长，周长的最大值为．7．(2022高考北京卷)在中，．(1)求；【解析】由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；(2)由正弦定理得：，则，则，．10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由(1)得由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．11．(2021高考北京)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．【解析】(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得；(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①(Ⅰ)(Ⅱ)由正弦定理得：选择条件②(Ⅰ)由正弦定理得：(Ⅱ)21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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