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2021—2022 学年度(下)高二年级省六校协作体期初数学考试答案一、单项选择题:1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8. B二、多项选择题:9.CD 10.BCD 11.ABC 12.BCD三、填空题:713.5 14.120 15.-4 16.4四、解答题:1017.(1)x2 2y2 10 2;(2) x 6y2.91解:(1)由题可知, AB的中点为 1,2 , kAB,2所以 AB的中垂线方程为2xy40,它与 x轴的交点为圆心C 2,0 ,又半径 rAC10,所以圆 C的方程为x2 2y2 10 ............5分(2)设点P x , y0 0 ,Qx, y ,由 PQ2QM 得xx0 , yy0 2 8 x, yxx0 16 2x x03x 16 2∴ yy2y ,∴ y3y ,又点 P在圆 C上,故 x02y20 10 002 10所以 3x 18 3y 2 10 2,化简得点 Q的轨迹方程为 x 6y2........10分9高二数学答案,共 7页,第 1页18.(1) 2 (2) 3 54 5(1)因为PA 平面 ABCD, AB, ADPA 平面 ABCD所以, PAAB, PAAD,因为 ABBC,故以 A为坐标原点, AB, AD, AP所在直线为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为 AB2, AD3,PA3, AD//BC,过点 C作 CE⊥AD于点 E,则 CE=AB=2,AE=BC=1,因为 ADC45 ,所以
DE=CE=2,故C 2,1,0 , A 0,0,0 ,D 0,3,0 , P 0,0, 3 ,PC2,1, 3,
AD0,3,0 ,设异面直线 PC与 AD所成角为 ,所以2,1, 30,3,0 coscos PC ,AD 2,异面直线 PC与 AD所成角的余弦值3 4 1 3 4为 2 .............6分(几何法相应给分)4
(2) AC2,1,0 ,CD 2,2,0 ,设平面 PCD的法向量为
n P C 0 2xy3z0nx, y, z ,则,即 ,令 x 1,解 n CD02x 2y0
得: y 1, z3 ,故n1,1, 3 ,设点 A到平面 PCD的距离为d ,则
nACd 3 3 5.............12分n 5 5.( ) x2 y219 1 1;(2) 4 5 .4 2 3(1)因为△BF1F2 为直角三角形,所以bc,从而 a22b2 . 6 当直线 l垂直于 x轴时, |MN | 6 ,所以椭圆经过点 1, 2,高二数学答案,共 7页,第 2页1 3所以1a2 2b2 .所以a2,b2,2 2故椭圆 C的标准方程为 x y1;............6分4 2(2)设直线 l的方程为 yk(x 1),Mx1, y1,Nx2 , y2 , x2 y2 1,联立方程组4 2 得 2k 2 1 x24k 2x2k 240, yk (x 1),2则 x x 4k ,x x 2k2 4122k 2
1 1 2 2k 2. 1因为 x x 4k2 412 ,所以 k1.2k 2 1 3x 4 2因为 1x2, x3 1x2 ,3所以 |MN | 1 k 2 x1x2 2 4x x 2 16 1 242 4 5...........12分9 3 320.(1) x28y;(2)证明见解析.p(1)解:由题意知,直线 AB的直线方程为 yx,2 y x p 2由2 ,得 y2 p 3py 0, x22 py 4设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,则 y1y23p,高二数学答案,共 7页,第 3页∴ ABy1y2p4p 16,∴ p4,∴抛物线的方程为 x28y ...........4分 x232 (2)解:由(1)可得点P 8,8x,设Mx3 , ,N x 48 4,8,x2 x23 8 4x8 8则 x8kPM83,同理可得 k 8PN 4 ,x3 8 8 x4 8 8∵ PMPN ,∴ kPM kPN1x38 x48,即 1,8 8即 x x 8(xx ) 1280 ,(也可由3 4 3 4 ① PM PN0得到)由题意得直线MN 的斜率一定存在,设直线MN 方程为 ykxb , ykx b联立 x28y ,得 x2 8kx 8b0,
则64k 2 32b,得 x3x48k , x3x48b,带入①式得 8b64k 1280,即b8k 16,符合0,所以直线MN 方程为 ykx bk(x 8) 16,所以直线MN 过定点(-8,16)............12分21.(1)证明见解析;(2) 7(1)证明:取BC的中点,连接 AO, A1O,高二数学答案,共 7页,第 4页 ABAC2,D是 B1C1的中点. A1DB1C1, BC / /B1C1, A1DBC,因为 A1在底面 ABC的射影为BC的中点,所以 A1O 面 ABC,又面 ABC∕∕面 A1B1C1,所以 A1O 面 A1B1C1,又 A1D 面 A1B1C1,所以 A1OA1D,因为 A1O BC O ,所以 A1D 平面 A1BC ;..........6分(2)解:如图,以O为坐标原点,以OA、OB、OA1所在直线分别为 x、 y、 z轴建系,则 BC2AC2 2, AOAA21 1AO214,则 A1(0,0, 14),A( 2,0,0),C(0,2,0) ,B(0, 2,0),D( 2,0, 14),B 1( 2, 2, 14) ,
A1D( 2,0,0), BD( 2, 2, 14) ,
设平面 A1BD的法向量为m(x, y, z),mA 1 D02x0则
得 , m BD
0 , 2x2y14z0高二数学答案,共 7页,第 5页
取 z 1,得m(0, 7,1) ,因为 A1O 面 A1DB1,
所以OA10,0, 14 即为平面 A1DB1的一个法向量,
则 cos m,OA 14 21 ,142 2 4所以二面角 A1BDB 2 141的平面角的余弦值为 ,正弦值为 ,4 4故二面角 A1BDB1的平面角的正切值 7........12 分x222.(1)y21;(2)2, 2 ﹒4解:(1)由上顶点 P到 F的距离为 2,可得a2,又 e c 3,故c3,从而b 1﹒a 22∴椭圆 C的标准方程为 xy21﹒..........4分4(2)当 k0时,由椭圆的对称性,显然成立﹒当 k0时,设直线 l为 ykxm, x2y2 1联立 4 ,得 4k 21 x28mkx4m240, ykx m则64m2k 2 16 4k 2 1m2 10,即4k 2 m2 1 0 (*),高二数学答案,共 7页,第 6页设M x1, y8mk1 ,N x2 , y2 ,则 x1x2 ,4k 2 1y y k x x2m 8mk22m 2m12124k 2, 1 4k 2 14mk m 故线段 MN的中点为Q4k 2, 1 4k 2 1 , m2 1 m4k 2 1从而直线 PQ的斜率为 k 4k 1PQ 4mk 4mk ,4k 2 12由 PMPN ,得 PQMN ,即 kPQ k1,即m4k 11, 4m2故 4k 1m ﹒32由(*)式,即 4k 2 m2 1 4k2 1 0,可得 24k 10 ,9 4k 2 1 8 4k 2即 0,故8 4k 20,解得 2k2 ,且 k0﹒9综上所述,k的取值范围为2, 2 ﹒........12分高二数学答案,共 7页,第 7页辽宁省2021—2022学年度(下)高二年级省六校协作体期初考试数学试卷考试时间:120分钟 满分150分一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点,且与直线垂直,则直线的方程是()A.B.C. D.2.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为()A.54 B.5C.5×4×3×2 D.45过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为()4.已知椭圆的离心率,则的值为()C.D.或5.已知,,,若向量共面,则实数等于()A.1 B.2 C.3 D.46.若的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则该项式的展开式中常数项为()A.90 B.-90 C.180 D.-1807.已知正四面体中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C.D.8.已知是双曲线上的三个点,经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、多选题9.已知直线:和圆:,则()A.直线恒过定点B.若,则直线被圆截得的弦长为C.存在使得直线与直线:垂直D.直线与圆相交10.对任意实数,有.则下列结论成立的是()A. B.C. D.11.已知正方体的棱长为,下列四个结论中正确的是()A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为12.已知椭圆的左 右焦点分别为,为椭圆上不同于左右顶点的任意一点,则下列说法正确的是()A.的周长为 B.面积的最大值为C.的取值范围为 D.的取值范围为三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.若抛物线上一点到轴的距离是4,则点到该抛物线焦点的距离是___________.14.电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,且每人左右两边都有空位的坐法种数为___________.15.已知半径为2的球有一内接正四面体,________.16.点P为抛物线y2=x上的动点,过点P作圆M:(x-3) 2+y2=1的一条切线,切点为A,则·的最小值为________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知圆C的圆心在x轴上,并且过,两点.(1)求圆C的方程;(2)若P为圆C上任意一点,定点,点Q满足,求点Q的轨迹方程.18.(本小题满分12分)如图.在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,且,.(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦;(2)求点A到平面PCD的距离.19.(本小题满分12分)已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,左、右焦点分别为,,为直角三角形,过点的直线l与椭圆交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若的中点的横坐标为,求.20.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上不同的三点,且,若点的横坐标为8,证明:直线过定点.21.(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,,,,在底面的射影为的中点,是的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的正切值.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:,F为左焦点,上顶点P到F的距离为2,且离心率为﹒(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M,N两点,且,求k的取值范围﹒
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