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2021—2022 学年度（下）高二年级省六校协作体期初数学考试答案一、单项选择题：1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8. B二、多项选择题：9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BCD三、填空题：713．5 14．120 15．-4 16．4四、解答题：1017．（1）x2 2y2 10 2；（2） x 6y2.91解：（1）由题可知， AB的中点为 1,2 ， kAB，2所以 AB的中垂线方程为2xy40，它与 x轴的交点为圆心C 2,0 ，又半径 rAC10，所以圆 C的方程为x2 2y2 10 ............5分（2）设点P x , y0 0 ，Qx, y ，由 PQ2QM 得xx0 , yy0 2 8 x, yxx0 16 2x x03x 16 2∴ yy2y ，∴ y3y ，又点 P在圆 C上，故 x02y20 10 002 10所以 3x 18 3y 2 10 2，化简得点 Q的轨迹方程为 x 6y2........10分9高二数学答案，共 7页，第 1页18．（1） 2 （2） 3 54 5（1）因为PA 平面 ABCD， AB, ADPA 平面 ABCD所以， PAAB， PAAD，因为 ABBC，故以 A为坐标原点， AB, AD, AP所在直线为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为 AB2, AD3,PA3, AD//BC,过点 C作 CE⊥AD于点 E，则 CE=AB=2，AE=BC=1，因为 ADC45 ，所以

DE=CE=2，故C 2,1,0 ， A 0,0,0 ，D 0,3,0 ， P 0,0, 3 ，PC2,1, 3，

AD0,3,0 ，设异面直线 PC与 AD所成角为 ，所以2,1, 30,3,0 coscos PC ,AD 2，异面直线 PC与 AD所成角的余弦值3 4 1 3 4为 2 .............6分（几何法相应给分）4

（2） AC2,1,0 ，CD 2,2,0 ，设平面 PCD的法向量为

n P C 0 2xy3z0nx, y, z ，则，即 ，令 x 1，解 n CD02x 2y0

得： y 1， z3 ，故n1,1, 3 ，设点 A到平面 PCD的距离为d ，则

nACd 3 3 5.............12分n 5 5．（ ） x2 y219 1 1；（2） 4 5 .4 2 3（1）因为△BF1F2 为直角三角形，所以bc，从而 a22b2 ． 6 当直线 l垂直于 x轴时， |MN | 6 ，所以椭圆经过点 1, 2，高二数学答案，共 7页，第 2页1 3所以1a2 2b2 ．所以a2,b2，2 2故椭圆 C的标准方程为 x y1；............6分4 2（2）设直线 l的方程为 yk(x 1),Mx1, y1,Nx2 , y2 ， x2 y2 1,联立方程组4 2 得 2k 2 1 x24k 2x2k 240， yk (x 1),2则 x x 4k ,x x 2k2 4122k 2

1 1 2 2k 2． 1因为 x x 4k2 412 ，所以 k1．2k 2 1 3x 4 2因为 1x2, x3 1x2 ，3所以 |MN | 1 k 2 x1x2 2 4x x 2 16 1 242 4 5．..........12分9 3 320．（1） x28y；（2）证明见解析.p（1）解：由题意知，直线 AB的直线方程为 yx，2 y x p 2由2 ，得 y2 p 3py 0， x22 py 4设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 y1y23p，高二数学答案，共 7页，第 3页∴ ABy1y2p4p 16，∴ p4，∴抛物线的方程为 x28y ...........4分 x232 （2）解：由(1)可得点P 8,8x，设Mx3 , ,N x 48 4,8，x2 x23 8 4x8 8则 x8kPM83，同理可得 k 8PN 4 ，x3 8 8 x4 8 8∵ PMPN ，∴ kPM kPN1x38 x48，即 1，8 8即 x x 8(xx ) 1280 ，(也可由3 4 3 4 ① PM PN0得到)由题意得直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 方程为 ykxb ， ykx b联立 x28y ，得 x2 8kx 8b0，

则64k 2 32b，得 x3x48k ， x3x48b，带入①式得 8b64k 1280，即b8k 16，符合0，所以直线MN 方程为 ykx bk(x 8) 16，所以直线MN 过定点(－8，16)．...........12分21．(1)证明见解析;(2) 7(1)证明：取BC的中点，连接 AO， A1O，高二数学答案，共 7页，第 4页 ABAC2，D是 B1C1的中点． A1DB1C1， BC / /B1C1， A1DBC，因为 A1在底面 ABC的射影为BC的中点，所以 A1O 面 ABC，又面 ABC∕∕面 A1B1C1，所以 A1O 面 A1B1C1，又 A1D 面 A1B1C1，所以 A1OA1D，因为 A1O BC O ，所以 A1D 平面 A1BC ；..........6分(2)解：如图，以O为坐标原点，以OA、OB、OA1所在直线分别为 x、 y、 z轴建系，则 BC2AC2 2, AOAA21 1AO214，则 A1(0,0, 14),A( 2,0,0),C(0,2,0) ，B(0, 2,0),D( 2,0, 14),B 1( 2, 2, 14) ，

A1D( 2,0,0)， BD( 2, 2, 14) ，

设平面 A1BD的法向量为m(x, y, z)，mA 1 D02x0则

得 ， m BD

0 ， 2x2y14z0高二数学答案，共 7页，第 5页

取 z 1，得m(0, 7,1) ，因为 A1O 面 A1DB1，

所以OA10,0, 14 即为平面 A1DB1的一个法向量，

则 cos m,OA 14 21 ，142 2 4所以二面角 A1BDB 2 141的平面角的余弦值为 ，正弦值为 ，4 4故二面角 A1BDB1的平面角的正切值 7．.......12 分x222．（1）y21；（2）2, 2 ﹒4解：（1）由上顶点 P到 F的距离为 2，可得a2，又 e c 3，故c3，从而b 1﹒a 22∴椭圆 C的标准方程为 xy21﹒..........4分4（2）当 k0时，由椭圆的对称性，显然成立﹒当 k0时，设直线 l为 ykxm， x2y2 1联立 4 ，得 4k 21 x28mkx4m240， ykx m则64m2k 2 16 4k 2 1m2 10，即4k 2 m2 1 0 (*)，高二数学答案，共 7页，第 6页设M x1, y8mk1 ，N x2 , y2 ，则 x1x2 ，4k 2 1y y k x x2m 8mk22m 2m12124k 2， 1 4k 2 14mk m 故线段 MN的中点为Q4k 2, 1 4k 2 1 ， m2 1 m4k 2 1从而直线 PQ的斜率为 k 4k 1PQ 4mk 4mk ，4k 2 12由 PMPN ，得 PQMN ，即 kPQ k1，即m4k 11， 4m2故 4k 1m ﹒32由(*)式，即 4k 2 m2 1 4k2 1 0，可得 24k 10 ，9 4k 2 1 8 4k 2即 0，故8 4k 20，解得 2k2 ，且 k0﹒9综上所述，k的取值范围为2, 2 ﹒........12分高二数学答案，共 7页，第 7页辽宁省2021—2022学年度（下）高二年级省六校协作体期初考试数学试卷考试时间：120分钟 满分150分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A．B．C． D．2．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（）A．54 B．5C．5×4×3×2 D．45过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）4．已知椭圆的离心率，则的值为（）C．D．或5．已知，，，若向量共面，则实数等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A．90 B．-90 C．180 D．-1807．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C．D．8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是()A． B． C． D．二、多选题9．已知直线：和圆：，则（）A．直线恒过定点B．若，则直线被圆截得的弦长为C．存在使得直线与直线：垂直D．直线与圆相交10．对任意实数，有.则下列结论成立的是（）A． B．C． D．11．已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成角的余弦值为C．平面D．点到平面的距离为12．已知椭圆的左 右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A．的周长为 B．面积的最大值为C．的取值范围为 D．的取值范围为三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.14．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为___________.15．已知半径为2的球有一内接正四面体，________.16．点P为抛物线y2＝x上的动点，过点P作圆M：(x－3) 2＋y2＝1的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点.（1）求圆C的方程；（2）若P为圆C上任意一点，定点，点Q满足，求点Q的轨迹方程.18．（本小题满分12分）如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；（2）求点A到平面PCD的距离.19．（本小题满分12分）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，为直角三角形，过点的直线l与椭圆交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若的中点的横坐标为，求．20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上不同的三点，且，若点的横坐标为8，证明：直线过定点.21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C：，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为﹒（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且，求k的取值范围﹒

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