(1) ;
(2) .
【分析】(1 )由抛物线的定义可得 ,即可得解;
(2 )法一:设点的坐标及直线 ,由韦达定理及斜率公式可得
,再由差角的正切公式及基本不等式可得
,设直线
,结合韦达定理可解.
【详解】(1 )抛物线的准线为 ,当
与x轴垂直时,点M的横坐标为p,
此时 ,所以
,
所以抛物线C的方程为 ;
(2 ) [方法一]:【最优解】直线方程横截式
设 ,直线
,
由 可得
,
,
由斜率公式可得 ,
,
直线 ,代入抛物线方程可得
,
,所以
,同理可得
,
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ,所以
,
若要使 最大,则
,设
,则
,
当且仅当 即
时,等号成立,
所以当 最大时,
,设直线
,
代入抛物线方程可得 ,
,所以
,
所以直线 .
[方法二]:直线方程点斜式
由题可知,直线MN的斜率存在.
设 , 直线
由 得:
,
, 同理,
.
直线MD : , 代入抛物线方程可得:
,同理,
.
代入抛物线方程可得: , 所以
,同理可得
,
由斜率公式可得:
(下同方法一)若要使 最大,则
,
设 ,则
,
当且仅当 即
时,等号成立,
所以当 最大时,
,设直线
,
代入抛物线方程可得 ,
,所以
,所以直线
.
[方法三]:三点共线
设 ,
设 , 若P 、M 、N三点共线,由
所以 ,化简得
,
反之,若 ,可得MN过定点
因此,由M 、N 、F三点共线,得 ,
由M 、D 、A三点共线,得 ,
由N 、D 、B三点共线,得 ,
则 ,AB过定点(4,0 )
(下同方法一)若要使 最大,则
,
设 ,则
,
当且仅当 即
时,等号成立,
所以当 最大时,
,所以直线
.
【整体点评】(2 )法一:利用直线方程横截式,简化了联立方程的运算,通过寻找直线 的斜率关系,由基本不等式即可求出直线AB的斜率,再根据韦达定理求出直线方程,是该题的最优解,也是通性通法;
法二:常规设直线方程点斜式,解题过程同解法一;
法三:通过设点由三点共线寻找纵坐标关系,快速找到直线 过定点,省去联立过程,也不失为一种简化运算的好方法.