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烟台市2023-2024学年高一上学期期中考试数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，且，则m的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣12．命题“”的否定为（）A． B．C． D．3．已知，且，则（）A． B． C． D．4．某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）每户每年用气量 单价不超过的部分超过但不超过的部分超过的部分A． B． C． D．5．在同一坐标系内，函数利的图象可能是（）A． B．C． D．6．若函数的图象恒在图象的上方，则（）A． B． C． D．7．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．以下各组函数中，表示同一函数的有（）A．， B．，C．， D．，10．给定集合M，N，定义，若，，则（）A． B．C． D．11．已知，，则（）A．ab的最大值为 B．的最小值为6C．的最大值为0 D．的最小值为12．德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A．在上单调递增 B．的图象关于点对称C．当时， D．当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为奇函数，则实数a的值为______．14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为______．15．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．16．设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______。(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．18．(12分)已知是定义在R上的奇函数，当时，．(1)求在R上的解析式；(2)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减．19．(12分)某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大 最大容积是多少 20．(12分)已知幂函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．21．(12分)已知函数满足：，．令．(1)求值，并证明为偶函数；(2)当时，．(i)判断在上的单调性，并说明理由；(ii)若，求不等式的解集．22．(12分)已知函数，，(1)解关于x的不等式，(2)从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．问题：是否存在正数t，使得_____ 若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．烟台市2023-2024学年高一上学期期中考试数学参考答案一、选择题：1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C二、选择题9．AC 10．ABD 11．AC 12．BCD三、填空题13．1 14． 5．或 16．2，四、解答题17．解：(1)当时， 所以(2)因为 所以 解得．18．解：(1)因为是定义在R上的奇函数，所以，当时，．当时，，又为奇函数，所以，即．综上，，，(2)任取，且，因为，且所以，，且，所以，即，所以，函数在区间上单调递减．19．解：设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为2.5xy，由题意得，(亦可列式：)因为，当且仅当时取“＝”，所以，解得，即．所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．此时，最大容积为立方米20．解：(1)设的解析式为，则，解得，因此．(2)因为，所以．令，则，且．令，，因为在单增，在单减，所以．因为存在，使得，所以．所以．又因为，所以a的取值范围为．21．解：(1)因为，所以定义域为，因为，令，则，所以．令，则，所以．令，则，所以，，所以为偶函数(2)(i)因为，两边同除以得，即．任取，且，则，，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增．(ii)因为，所以，所以原不等式可化为．又为偶函数，且在上单调递增，所以，解得或，所以原不等式的解集为．22．解：(1)由，得．当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．(2)若选择条件①：由题意，，且．由，，得：，解得，当时，，，因此时符合题意若选条件②：当时，在单增，此时，且，解得，且，与矛盾．当时，在单减，此时，且，解得，所以，，与矛盾．当时，在单增，单减，此时，且．解得，且，即，又，所以，此时．当时，在单增，单减，此时，且．解得，且，即，又，所以均舍去．综上，正数t的取值为．
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