青海省2022年初中学业水平考试
数 学
(本试卷满分120分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.本试卷为试题卷,请将答案写在答题卡上,否则无效。
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的).
1.下面用数学家名字命名的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
2.根据等式的性质,下列各式变形正确的是
A.若 ,则a=b B.若ac=bc,则a=b
C.若 =, 则a=b D.若 −x=6,则x= -2
3.下列运算正确的是
A.3+4=7 B.(x+y)2=x2+y2
C.(2+3x)(2−3x)=9x2−4 D.2xy+4xy2=2xy(1+2y)
4.已知关于x的方程 x2+mx+3=0 的一个根为x=1,则实数m的值为
A.4 B.-4
C.3 D.-3
5.如图1所示, A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点C的坐标为
A.(3,0) B.(,0) C.(−,0) D.(−3,0)
图1 图2
6.数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图2所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示
A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角
7.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若 AC=16,BC=12, 则BF的长为
A.5 B.4 C.6 D.8
图3
8.2022年2月5日,电影《长津湖》在青海剧场首映,小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶,中途停车加油耽误了十几分钟,为了按时到达剧场,小李在不违反交通规则的前提下加快了速度,仍保持匀速行驶.在此行驶过程中,汽车离剧场的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系的大致图象是
A B C D
二、填空题(本大题共12小题,每小题2分,共24分).
9.-2022的相反数是 .
10.若式子 有意义,则实数x的取值范围是 .
11.习近平总书记指出“善于学习,就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天,全国大约有124600000人在平台上学习,将这个数据用科学记数法表示为 .
12.不等式组的所有整数解的和为 .
13.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图4所示,那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
主视图 左视图 俯视图
图4
14.如图5,一块砖的A,B,C三个面的面积之比是5:3:1.如果A,B,C三个面分别向下在地上,地面所受压强分别为,压强的计算公式为 P=,,其中P是压强,F是压力,S是受力面积,则 的大小关系为 (用小于号连接).
图5 图6
15.如图6,在 Rt△ABC中, ∠ABC=900, ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E, ∠BAE=100, 则 ∠C 的度数是 .
16.如图7,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线交AD,BC于点E、F,若AB=3, BC=4 ,则图中阴影部分的面积为 .
图7 图8
17.如图8是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB=4m,CD=6m, 则⊙O的半径长为 m.
18.如图9,从一个腰长为60cm,顶角为1200的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,则此扇形的弧长为 cm.
图9 图10
19.如图10,小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为
21cm2 的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为 .
20.木材加工厂将一批木料按如图11所示的规律依次摆放,则第n个图中共有木料 根.
…
第1个 第2个 第3个 第4个
图11
三、解答题(本大题共7小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
21.(7分)解方程:
22.(10分)如图12,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合), 连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证: △DCE≅△BCE;
(2)求证: ∠AFD=∠EBC.
图12
23.(10分)随着我国科学技术的不断发展,科学幻想变为现实.如图13-1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型,全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图13-2是垂尾模型的轴切面,并通过垂尾模型的外围测得如下数据,BC=8,CD=2,∠D=135°,∠C=60°,且AB∥CD ,求出垂尾模型ABCD的面积.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
图13-1 图13-2
24.(10分)如图14,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,AD平分∠CAB交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线EF,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证: AF⊥EF;
(2)若 CF=1,AC=2,AB=4,求BE的长.
图14
25.(12分)为迎接党的二十大胜利召开,某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育,其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况,从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试,统计这部分学生的测试成绩(成绩均为整数,满分10分,8分及8分以上为优秀),相关数据统计、整理如下:
七年级抽取学生的成绩:6,6,6,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,10.
(1)填空:a= ,b = ;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中,哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由(写出一条即可);
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数;
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛,请用列表法或画树状图法,求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
26.(10分)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:
如图15-1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边.求证: BD=CE;
图15-1 图15-2
(2)解决问题:
如图15-2,若 △ACB和 △DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
点A,D,E在同一条直线上,CM为 △DCE 中DE边上的高,连接BE,请判断
∠AEB 的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.
27.(13分)如图16-1,抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于
点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点,点F是抛物线的顶点,求EF的长;
(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足 =6 的点P?如果存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(请在图16−2 中探讨)
图16-1 图16-2
参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B
二、填空题
9. 2022 10. x 11. 1.246 12. 0 13. 5
14. 15. 400 16. 6 17. 18. 20π
19. (11-2x)(7-2x)=21 20.
三、解答题
21、x=4
22、证明:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴CD=BC , ∠ACD=∠ACB
在△DCE和△BCE中
∴△DCE≅△BCE(SAS).
(2)∵△DCE≅△BCE
∴∠CDE=∠EBC
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD
∴∠CDF=∠AFD
∴∠AFD =∠EBC.
23、解:过D作DE垂直AB的延长线于E,交BC于点F.
∵AB∥CD ,
∴DE⊥CD
∴∠FEB=∠FDC=90°
在Rt△CDF中,CD=2,∠C=60°,
∴∠CFD=30°,CF=4,DF=2
∵BC=8,
∴BF=4
∴BF=CF
在△FEB和△FDC中
∴△FEB ≅△FDC(AAS).
∴BE=CD=2, DF=EF=2
∵∠D=135°, ∠FDC=90°
∴∠ADE=45°
∴AE=DE=4
∴==AEDE=44=24
24、24.(10分=5+5)
(1)证明:连接O D , …………………………………………… 1分
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠OAD, …………………………………………… 2分
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA, …………………………………………… 3 分
∴∠ CAD=∠ ODA,
∴OD//AF, …………………………………………… 4分
∵EF为⊙O的切线,
∴OD⊥EF,
∴AF⊥EF.…………………………………………… 5 分
(2)解:由(1)得:
OD∥AF
∴△ODE∽△AFE
∴OE:AE=OD:AF…………………………………………… 7分
设BE为x,
∵AC=2,CF=1
∴AF=3
∵AB=4,
∴OD=2,OB=2
∴OE=OB+BE=2+x ……………………………………………8 分
∴= …………………………………………… 9 分
解得:x=2,
即BE的长为 2 …………………………………………… 1 0分
25.(12分=2+2+3+5)
(1)a=8;b = 8 ……………………………………………2分
(2)解:答案一:七年级较好.理由:七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分,八年级被抽取的学生的成绩的众数是7分,从这一统计量看,七年级学生党史知识掌握得较好.
答案二:七年级较好.理由:七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%,八年级被抽取的学生的成绩的优秀率是60%,从这一统计量看,七年级学生党史知识掌握得较好. ……………………………………………4分
(3)解: 500×80%+500×60%=700(人). …………………………………6分
答:七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700 ……7分
(4)列表如下:
或树状图如下:
由表格或树状图可知,共有12种等可能的情况,其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6 种…………………………………11分
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率
P== …………………………………12分
26.(4+6分)
(1)证明:∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠ D A E…………………………………1分
∴∠ BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠C A E . …………………………………2分
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≅△CAE(SAS),…………………………………3 分
∴BD=CE. ………………………………… 4 分
(2)∠AEB=90∘,AE=BE+2CM,, ………………………………… 5 分
理由如下:
由(1)的方法得,
△ACD≅△BCE,
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,…………………………………6 分
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45∘,
∴∠ ADC = 180° - ∠CDE = 135°,
∴∠BEC = ∠ADC = 135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. ………………………………7分
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME. ………………………………………………………………8 分
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM,∴DE=2CM. ………………………………9分
∴AE=AD+DE =BE+2CM. ………………………………10分
27.(13分=4+4+5)
解:(1) ∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-1,0),B(3,0),
∴ ………………………………3 分
∴所求抛物线的解析式为 y=x2−2x−3.………………………………4 分
(2)由(1)知,抛物线的解析式为 y=x2−2x−3,
则C(0,-3), ………………………………5分
又∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4, ∴F(1,−4).………………………………6 分
设直线BC的解析式为y=kx-3(k≠0),把B(3,0)代入,得
0=3k−3,
解得k=1,则该直线的解析式为y = x- 3. ………………………………7分
故当x=1时,y=-2,即E(1,-2),
∴EF=|-4|-|-2|=2,即EF = 2 . ………………………………8分
(3)设点P(x,y),由题意,得 =12×4∣y∣=6,
∴|y| =3,∴y=±3 ………………………………10分
当 y=−3时, x2−2x−3=−3,
∴x1=0,x2=2,………………………………11 分
当y=3时, x2−2x−3=3,
∴x₃=1- x₄=1+, ………………………………12分
∴当点P的坐标分别为
P1(0,−3),P2(2,−3),P3(1−7,3),P4(1+7,3)时,
=6.………………………………13分