北京理工大学2012-2013学年第一学期
2010级《应用随机过程》期末试题A 卷
一、(15分)设随机过程()X t Yt Z =+,其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量,求()X t 的数学期望,协方差函数和一维概率密度函数。
二、(15分)设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度(每分钟)为λ的泊松过程,求:(1)5分钟内来到的顾客数为2人的概率;(2)5分钟内到来的平均顾客数;
(3)设T 为首位顾客到达的时间,计算概率()5P T >。
三、(15分)设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动,n X 表示质点在时刻n 所处的位置,其一步转移概率矩阵为:11000221100022100001110033301000P ????????????=????????????
。 (1)若初始分布为11,,0,0,022?? ???
,求质点在时刻n=1的概率分布; (2)试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、(10分)设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I =L ,转移概率,10,111,i i i i p p a ---==,
10
01,1,2,,1i i i a i a ∞
-=
(2)试给出此链正常返的充要条件,并求出状态0的平均返回时间。
五、(15分)某实验室有两台机器,每台机器发生故障的概率为μ,发生故障后立即修理,且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数,则()X t 是一生灭过程。(1)写出()X t 的Q 矩阵;
(2)写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程;(3)求平稳分布。
六、(15分)设()()cos X t V at =+Θ,其中()0,2,0,1U EV DV πΘ==:,且,V Θ相互独立。(1)证明()X t 是平稳过程;(2)判断()X t 的均值是否具有各态历经性;
(3)判断()2E X t ????是否具有各态历经性。(假设4
EV
2,1,10,,11,X c s ωωω?∈-?=?∈-∞-+∞??U 。
令()()21Y t X t =+。
(1)求()X t 的自相关函数()X
R τ;
(2)证明()Y t 是平稳过程,并求出()Y t 的谱密度。
北京理工大学2013-2014学年第一学期
2011级《应用随机过程》期末试题A 卷
一、(15分)设随机过程()cos sin X t Y t Z t =+,其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量,求()X t 的数学期望,协方差函数和一维概率密度函数。
二、(15分)设某台电话在(]0,t 内收到的呼叫次数()X t 是具有强度(每小时)为λ的泊松过程,求:(1)2小时内没有收到呼叫的概率;(2)2小时内收到的平均呼叫次数;
(3)每相邻两次呼叫之间的平均等待时间。
三、(15分)设质点在线段[]1,4的整数点上作随机游动,n X 表示质点在时刻n 所处的位置,其一步转移概率矩阵为:12003300011110424110022P ????????
??=??????????
。 (1)若初始分布为11,,0,022?? ???
,求质点在时刻n=1的概率分布; (2)试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、(10分)设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I =L ,转移概率,10,111,i i i i p p a ---==,
10
01,1,2,,1i i i a i a ∞
-=
(2)试给出此链正常返的充要条件,并求出状态0的平均返回时间。
五、(15分)假设有两条通信线路,每条线路发生故障的概率为μ,发生故障后立即修理,且在h 时间内每条线路从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的线路数,则()X t 是一生灭过程。(1)写出()X t 的Q 矩阵;
(2)写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程;(3)求平稳分布。
六、(15分)设()()Z t X t Y =+,其中()X t 是一均值具有各态历经性的平稳过程,且随机变量Y 与()X t 相互独立,并且2
EY
七、(14分)设()X t 是一个实平稳过程,其谱密度为()[]()()
2,1,10,,11,X c s ωωω?∈-?=?∈-∞-+∞??U 。
令()()2Y t X t =+。
(1)求()X t 的自相关函数()X
R τ;
(2)证明()Y t 是平稳过程,并求出()Y t 的谱密度。
北京理工大学2015-2016学年第一学期
2013级《应用随机过程》期末试题A 卷
一、(18分)设随机过程()X t Ut φ=+,其中随机变量,U φ相互独立,
()()0,1,0,2U N U φπ::,求()X t 的数学期望,相关函数和协方差函数。
原题中还有“ω是常数”这种bug 。。。。。。
二、(18分)设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度(每分钟)为λ的泊松过程。
(1)求5分钟内来到的顾客数为2人的概率及等待首位顾客到达的平均时间;
设到达另一商店的顾客数()Y t 是具有强度为()t λ的非齐次泊松过程。
(2)求5分钟内来到的平均顾客数及等待首位顾客到达时间的分布函数。
三、(18分)设质点在线段[]1,4的整数点上作随机游动,n X 表示质点在时刻n 所处的位置,其一步转移概率矩阵为:001012003
311104
24110022P ??????????=??????????
。 (1)若初始分布为11,,0,022?? ???
,求质点在时刻n=1的概率分布; (2)讨论该Markov 链的状态分类;
(3)求常返闭集的平稳分布及各常返态的平均返回时间。
四、(10分)设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I =L ,转移概率0110121,1,p p p p p ==-=,,1,1,1,2,3,,01i i i p p p p i p +==-=
五、(18分)设有两台机床,一名维修工人。机床或者工作或者待修,每台机床的故障率为
μ,
故障后立即修理,且在h 时间内,每台机床从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻正常工作的机床数,则()X t 是一生灭过程。
(1)写出()X t 的状态空间和Q 矩阵;(此问错误率高)
(2)写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程;
(3)求平稳分布,并利用平稳分布求t →+∞时平均正常工作的机床数。
六、(18分)设()(),X t Y t 是两个均方连续的实平稳过程,且()(),X t Y t 互不相关,即:(),,cov ,0s t s t R X Y ?∈=。令()()()Z t X t Y t =+。
(1)证明()Z t 是平稳过程;(注意区分互不相关和正交)
(2)设()(),X t Y t 的谱密度分别为()(),X Y s s ωω,
均值均为0,求()Z t 的谱密度()Z s ω; (3)设随机变量V 的均值为0,方差为1,V 与()Z t 相互独立,已知()Z t 的均值不为..0.,()EZ t 具有各态历经性,令()()U t VZ t =,判断()U t 的均值是否具有各态历经性。
课程编号:MTH17096
北京理工大学2016-2017学年第一学期
2014级《应用随机过程》期末试题A 卷
一、(18分)设随机过程()X t Yt =,其中Y 是服从()0,1上均匀分布的随机变量,求()X t 的均值函数,协方差函数和一维概率密度函数。
二、(18分)设某台电话在(]0,t 内收到的呼唤次数()X t 是具有强度(每小时)为4λ=的泊松过程,求:(1)一小时内收到两次呼唤的概率及一小时内收到的平均呼叫次数;
(2)第二次呼唤的平均等待时间;(3)两小时内收到首次呼唤的概率。
三、(18分)设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动,n X 表示质点在时刻n 所处的位置,其一步转移概率矩阵为:11000221200033000101000001000P ??????????=??????????
。 (1)若初始分布为111,,,0,0442?? ???
,求质点在时刻n=1的概率分布; (2)讨论该Markov 链的状态分类;
(3)求常返闭集各状态的极限分布及各正常返态的平均返回时间。
四、(10分)设Markov 链的状态空间{}0,1,2,,I N =L ,其中N ≥4为一整数,一步转移概率为,1,011,,0,1,2,,222
i i i p p i N +===-L ;1,,11N N N N p p --==。讨论该Markov 链各状态的周期性质和常返性质。
五、(18分)假设有两台机器,每台机器发生故障率为μ,发生故障后立即修理,且在h 时间内,机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。令()X t 表示t 时刻发生故障的机器数,则
()X t 是一生灭过程。
(1)写出()X t 的状态空间和Q 矩阵; (2)写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程;(3)求平稳分布。
六、(18分)设()()2cos X t at =+Θ,其中Θ是()0,π上服从均匀分布的随机变量,a 是常数。(1)证明()X t 是平稳过程;(2)判断()X t 的均值是否具有各态历经性;
(3)令()()1Y t X t =+,()X R τ是()X t 的相关函数,并且()X R d ττ+∞-∞