近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( )
A 、满射而非单射
B 、单射而非满射
C 、一一映射
D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。
A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说
A 、不是唯一
B 、唯一的
C 、不一定唯一的
D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )
A 、不相等
B 、0
C 、相等
D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )
A 、倍数
B 、次数
C 、约数
D 、指数
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ;{
}2,1=B ,则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设置换σ和τ分别为:??????=6417352812345678σ,??
????=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=,定义m M 中运算“m +”为a
m +b=(a+b)(modm),则(m M ,m +)是不是群,为什么?
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、设G 是群。证明:如果对任意的G x ∈,有e x =2,则G 是交换群。
2、假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群
A 、G 为整数集合,*为加法
B 、G 为偶数集合,*为加法
C 、G 为有理数集合,*为加法
D 、G 为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、
3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。