近世代数期末考试试卷及答案
1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群.
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群
A 、G 为整数集合,*为加法
B 、G 为偶数集合,*为加法
C 、G 为有理数集合,*为加法
D 、G 为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、
3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则
3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( ).
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构.
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4
a 的阶等于------.
4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构.
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------.
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------.
9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封
闭;结合律成立、---------.
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(1 2)},写出H的所有陪集.
2、设E是所有偶数做成的集合,“•”是数的乘法,则“•”是E中的运算,(E,•)是一个代数系统,问(E,•)是不是群,为什么?
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、若是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b.
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b.
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只
有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1、6阶有限群的任何子群一定不是().
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群.
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于().
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格()
A、(N,≤)
B、(Z,≥)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))
D、 (P(A),⊆)
5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A 、(1),(123),(132)
B 、12),(13),(23)
C 、(1),(123)
D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的.
2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------.
3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.
5、环Z 8的零因子有 -----------------------.
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------.
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.
9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为--------.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗?
3、设有置换)1245)(1345(=σ,
6)456)(234(S ∈=τ.
1.求στ和στ-1;
2.确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.
2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .