《运筹学》试题样卷(一)
一、判断题(共计10分,每小题1分,对的打√,错的打X )
1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题,若其中一个有最优解, 另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。 4.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5.用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与0
>j σ对应的变量
都可以被选作换入变量。
6.若线性规划的原问题有无穷多个最优解时,其对偶问题也有无穷 多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
二、建立下面问题的线性规划模型(8分)
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日;春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工,春秋季收入为25元 / 人日,秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物:大豆、玉米、小麦,并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资,而饲养每头奶牛需投资800元,每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料,并占用人工秋冬季为100人日,春夏季为50人日,年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地,需人工为每只鸡秋冬季0.6人日,春夏季为0.3人日,年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡,牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示:
试决定该农场的经营方案,使年净收入为最大。
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表,表中54,x x 为
(1)写出原线性规划问题;(4分) (2)写出原问题的对偶问题;(3分)
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。(1分) 四、用单纯形法解下列线性规划问题(16分)
3212max x x x Z +-=
s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0
五、求解下面运输问题。 (18分)
某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4,各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示: 问:应如何调运,可使得总运输费最小?
六、灵敏度分析(共8分)
线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3
s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
的最优单纯形表如下:
(1)C1在何范围内变化,最优计划不变?(4分)
(2)b1在什么范围内变化,最优基不变?(4分)
七、试建立一个动态规划模型。(共8分)
某工厂购进100台机器,准备生产p1 , p2 两种产品。若生产产品p1 ,每台机器每年可收入45万元,损坏率为65%;若生产产品p2 ,每台机器每年可收入35万元,损坏率为35%;估计三年后将有新的机器出现,旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产,使在三年内收入最多?
八、求解对策问题。(共10分)
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验,种子的销售量可能为500,1000,1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元,销售价为9元,剩余种子的处理价为每公斤3元。要求:
(1)建立损益矩阵;(3分)
(2)用悲观法决定该商店应订购的种子数。(2分)
(3)建立后悔矩阵,并用后悔值法决定商店应订购的种子数。(5分)
九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。(8分)
十、用标号法求V1到V6的最短路。(6分)
运筹学样卷(一)答案一、判断题。共计10分,每小题1分
二、建线性规划模型。共计8分(酌情扣分)
解:用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数;54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲养数;76,x x 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力(人日)数,则有 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=
??
?
???
??
?
??=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.010*******)(150003400)(1005.154754321654321544
321Λj x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j
鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制
三、对偶问题。共计8分
解:(1)原线性规划问题:3211026max x x x z
+-=
?
??
??
≥≤+-≤+0,103522132122x x x x x x x ;……4分
(2)原问题的对偶规划问题为:
21105min y y w +=
??????
?
≥≥+-≥-≥0
,1022632121212y y y y y y y ; ……3分
(3)对偶规划问题的最优解为:
)2,4(=*Y T 。……1分
四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解:引入松弛变量x 4、 x 5、 x 6,标准化得,
3212max x x x Z +-=
s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3+ x 4
= 60
x 1- x 2 +2 x 3 + x 5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x 6 = 0
x 1, x 2 , x 3, x 4、 x 5、 x 6,≥0……………3分
建初始单纯形表,进行迭代运算: ……………………… …9分
由最优单纯形表可知,原线性规划的最优解为: ( 15 , 5 , 0 )T …2分
最优值为: z*=25。………2分
五、求解运输问题。共计18分 解:
(1)最小元素法:(也可以用其他方法,酌情给分) 设x ij 为由A i 运往B j 的运量(i=1,2,3; j=1,2,3,4), 列表如下:
分 所以,基本的初始可行解为:x 14 =25; x 22=20 ; x 24 =5 ;
X 31 =15; x 33 =30; x 34=5
其余的x ij=0。 …………3分
(2)求最优调运方案:
1会求检验数,检验解的最优性:σ11=2;σ12=2;σ13=3;
σ21=1;σ23=5;σ32= - 1…………3分
2会求调整量进行调整:=5 …………2分
…3分
3再次检验 …………2分
4能够写出正确结论
解为:x 14=25 ; x 22 =15 ; x 24 =10 x 31 =15, x 32 =5 x 33=30
其余的x ij=0。 ……1分
最少运费为: 535 ………1分。
六、灵敏度分析。共计8分 (1)(4分)
(2)(4分)
10401=?≤-b
七、建动态规划模型。共计8分
解:(1)设阶段变量k 表示年度,因此,阶段总数n =3。
(2)状态变量sk 表示第k 年度初拥有的完好机床台数, 同时也是第 k –1 年度末时的完好机床数量。
(3)决策变量uk ,表示第k 年度中分配于生产产品 p 1 的机器台数。于是sk – uk 便为该年度中分配于生产产品 p 1的机器台数. (4) 状态转移方程为
(5)允许决策集合,在第 k 段为 (6)目标函数。设gk (sk ,uk )为第k 年度的产量,则
gk (sk ,uk ) = 45uk + 35(sk –uk ) ,
因此,目标函数为 ???
???--≤?≤??????--3/23/10min 6/13/2,6/13/8max 1
c 155104106,54111=+≤?+≤-=≤?≤-c c c ???
???----≤?≤??????-∞-2100,3/23/100min 3/53/200,max 1b )
(65.035.01k k k k u s u s -+=+}{)(k k k k k s u u s U ≤≤=0∑
==3
)
,(k
i k
k k k
u s g R
(7)条件最优目标函数递推方程。
令fk (sk )表示由第k 年的状态sk 出发,采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量,根据最优化
原理有以下递推关系: (8).边界条件为
八、解决对策问题。共10分
(1)益损矩阵如下表所示:……3分
(2)悲观法:A 1 ,订购500公斤。……2分 (3)后悔矩阵如下表所示:……3分
23……2分
))
((max )(k k U u k k s u s f k
k ∈=)]}
(65.035.0[)](3545{[1k k k k k k k u s u f u s u -++-++0)(1313=++s f
关键问题是:①
→②;2→④;④→⑤;④→6;6→⑦
关键线路是:
评分标准:①能正确给各顶点标号并填表......................4分
②正确写出关键问题.............. 2分
③正确画出关键线路............. 2分
十、用标号法求v 1 到 v 6 的最短路。(6分)
1234,56长度为:12
正确标号:4分;正确写出结论:2分