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芜湖市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题卷注意事项：1．本试卷满分为100分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，正六边形ABCDEF中，（）A． B． C． D．2．复数（）A． B． C． D．3．若且，OA与的方向相同，则下列结论中正确的是（）A．且方向相同 B．C．OB与一定不平行 D．OB与不一定平行4．已知某居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对楼层的满意程度，用分层抽样的方法抽取4%的户主进行调查，则样本容量和抽取的低层户主满意的人数分别为（）A．240，32 B．320，32 C．240，80 D．320，805．已知复数在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．6．如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（）A． B． C． D．7．锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，，则b的取值范围为（）A． B． C． D．8．如图在正四而体中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面CE与DF所成角的余弦值（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知（）A．虚部为1 B． C． D．10．已知直线a，b是异面直线，则下列结论中正确的为（）A．过直线a有且只有一个与直线b平行的平面B．过直线a至多有一个与直线b垂直的平面C．过直线a与直线b有且只有一对相互平行的平面D．过直线a与直线b至多有一对相互垂直的平面11．从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：A=“至少有一个是女生” B=“至少有一个男生”，C=“恰有一个男生” D=“两个都是女生”，E=“恰有一个女生”．下列结论正确的有（）A． B．C． D．，12．如图，AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径且，O为AD中点，C在底面圆周上滑动（不与B，D重合）．则下列结论中正确的为（）A．BO有可能垂直平面ACDB．三棱锥的外接球表面积为定值C．二面角正弦值的最小值为D．过CD作三棱锥的外接球截面，截面面积的最大值为8π三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。13．已知两个不相等的向量，、若，则______．14．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知轴，轴且，则△ABC的周长为______．15．某班共有20名男生和30名女生，在调查全班同学身高（单位：cm）时丢失了原始数据，仅知道所有男生身高的平均数和方差分别为170和25，所有女生身高的平均数与方差分别为160和30，则该班级全体同学身高的方差为______．16．如图，直四棱柱的底面为菱形，，．E为的中点，，设平面平面，则直线l与平面所成角的正弦值为______．四、解答题：本题共6小题、共44分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。17．（6分）已知，，．（1）求向量与的夹角；（2）求．18．（6分）某网红餐饮店因特色餐饮文化吸引了很多顾客“打卡”．现随机抽取了200桌就餐的顾客，统计其等待就餐的时间（等待时间不超过40分钟），将统计数据按，，…，分组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）将所给的频率分布直方图补充完整；（2）为进一步提升人气，该店给在等待时间从长到短的前20%的顾客中每桌赠送一份本店特色菜肴，试估计等待超过多长时间有赠品？19．（6分）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②、现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终不离开桌面，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α．要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．20．（8分）某一贯制学校的小学部、初中部、高中部分别有学生720人，480人，480人．现采用比例分配的分层抽样方法从各学部抽7名学生调查他们的视力情况．经过校医检查，这7位同学中所有小学部同学均不近视，初中部和高中部各有一名同学不近视．（1）从7人中再随机抽2人，求恰有1人不近视的概率；（2）以抽取的7名同学近视的频率作为全校学生近视的概率．求在全校范围内随机抽取2名同学，恰有1人近视的概率．21．（8分）在△ABC中内角中A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，D为BC边上一点．（1）求角B；（2）若，试求的最大值．22．（10分）如图所示的多面体中，且，D为AB中点．平面ABC，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；（3）求点B到平面的距离．芜湖市2021-2022学年高一下学期期末考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8B C D B D A A B二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9 10 11 12BCD ABC AD BD三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。13 14 15 163 52四、解答题：本题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。17．（6分）解：（1）∵，，，∴，即，则，，∵，∴；（3分）（2），∴．（6分）18．（6分）解：（1）因为又所以直方图为：（3分）（2）设等待x分钟以上的可以获得赠品解得因此，等待27.5分钟以上的可以获得赠品．（6分）19．（6分）如图所示，在Rt△CDE中，（4分）解得，即α的最大值．（6分）20．（8分）（1）设从小学部抽取x人，初中部抽取y人，高中部抽取z人由分层抽样的性质解得，，（2分）用，，，表示小学部抽出的3名同学；用，从初中部抽出的2名同学，其中表示近视的同学，表示没有近视的同学；用，从高中部抽出的2名同学，其中表示近视的同学，表示没有近视的同学，则从抽出的7名同学中再抽取2名同学的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共21种其中恰有一人不近视的情况有：，，，，，，，，，，共10种所以从7人中抽取2人，恰有一人不近视的概率（5分）（2）由（1）可知抽取的7人有2人近视，用样本估计总体得出该校学生近视的概率为，（6分）在全校范围内随机抽取两位学生恰有1人不近视的概率．（8分）21．（8分）解：（1）由及正弦定理，得因为，所以．因为，所以，即．又，所以．（4分）（2）因为，所以△ADB为正三角形．在△ACD中，由正弦定理，得．所以，，．因为，所以，．当，即时，取到最大值8．（8分）另解：在△ACD中，∵∴（当且仅当时等号成立）∴22．（10分）证明：（1）∵平面ABC，∴且CD⊥AB，，∵CD⊥平面，∴，又∵，∴且，∴AB⊥平面，（4分）解：（2）∵，平面，平面，∴BC∥平面；∵平面ABC，设平面平面，则l∥BC．由题意∵，BC⊥平面且∴l⊥平面∴即为所求的二面角，（6分）∴．（7分）另解：∵平面ABC，平面ABC∴（3）延长与交于点G，过点B作BH⊥DG，垂足为点H由（1）∵CD⊥平面，∴平面⊥平面且平面平面且BH⊥DG，∴BH⊥平面．（9分）．（10分）另解：等积法设B到平面的距离为d．∴

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