2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ .
(2)已知,且,则=__________ .
(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.
(4)欧拉方程的通解为__________ .
(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .
(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A) (B)
(C) (D)
(8)设函数连续,且则存在,使得
(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少
(C)对任意的有 (D)对任意的有
(9)设为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若=0,则级数收敛
(B)若存在非零常数,使得,则级数发散
(C)若级数收敛,则
(D)若级数发散, 则存在非零常数,使得
(10)设为连续函数,,则等于
(A) (B)
(C) (D) 0
(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为
(A) (B)
(C) (D)
(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有
(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关
(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关
(C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关
(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关
(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于
(A) (B)
(C) (D)
(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则
(A) (B)
(C) (D)
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(15)(本题满分12分)
设,证明.
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)
(17)(本题满分12分)
计算曲面积分其中是曲面的上侧.
(18)(本题满分11分)
设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.
(19)(本题满分12分)
设是由确定的函数,求的极值点和极值.
(20)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分9分)
设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.
(22)(本题满分9分)
设为随机事件,且,令
求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数
(23)(本题满分9分)
设总体的分布函数为
其中未知参数为来自总体的简单随机样本,
求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量.
2004年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 .
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为
， 即 .
【评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即 .
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.
（2）已知，且f(1)=0, 则f(x)= .
【分析】 先求出的表达式，再积分即可。
【详解】 令，则，于是有
， 即
积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= .
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为
于是
=
【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
（4）欧拉方程的通解为 .
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令，则 ，
，
代入原方程，整理得
，
解此方程，得通解为
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程
，
可化为
完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大串讲》P75例12.
（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .
【分析】 可先用公式进行化简
【详解】 已知等式两边同时右乘A，得
， 而，于是有
， 即 ，
再两边取行列式，有 ，
而 ，故所求行列式为
【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9
（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则= .
【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
【详解】 由题设，知，于是
=
=
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ B